Kann ich einen exakten Wert für sin(1Grad) angeben?
Ich schreibe einen Seminararbeit über exakte trigonometrische Werte und meine mal gehört zu haben, dass nur vielfache von 3 Grad exakt angegeben werden können. Ich bin aber nicht ganz sicher und finde auch keine Quellen dazu. Falls sich jemand auskennt wäre es auch super eine Internetseite anzugeben. Danke im Voraus
4 Antworten
Schau mal hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Konstante_ausgedr%C3%BCckt_in_reellen_Radikalen
Es geht scheinbar nur für Vielfache von 3° und für andere Winkel, die dann aber nicht ganzzahlig sind.
Ja, man kann einen exakten Wert für sin(1°) angeben. Am einfachsten, indem man einfach „sin(1°)“ angibt.
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Ansonsten kann man sin(1°) aber auch als Ausdruck mit Wurzeln angeben, was aber wirklich nicht schön wird. Insbesondere muss man dazu in der Regel einen Umweg über komplexe Zahlen gehen.
Man kann beispielsweise zunächst
berechnen und die Gleichung
verwenden.
Demnach ist dann sin(1°) eine der Lösungen s der folgenden Gleichung:
Damit kann man dann auf ...
... kommen. (Dabei ist i die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.)
Auf der Seite
https://www.intmath.com/blog/mathematics/how-do-you-find-exact-values-for-the-sine-of-all-angles-6212
wurde beispielsweise auch dieser Ansatz verfolgt.
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Auf der Seite
http://www.lamprechts.de/gerd/sin%28x%29ExactTrigonometricConstants.htm
ist ...
... angegeben, was man beispielsweise über ...
... erhält.
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[...] meine mal gehört zu haben, dass nur vielfache von 3 Grad exakt angegeben werden können. [...]
Das stimmt so nicht ganz. Man kann die Werte exakt angeben, wie ich evtl. schon im ersten Teil meiner Antwort angesprochen habe.
Womit du das evtl. verwechselst: sin(1°) bzw. 1° sind nicht konstruierbar.
D.h. wenn man beispielsweise einfach nur eine Strecke der Länge 1 vorgibt, kann man daraus nicht mit Zirkel und Lineal einen 1°-Winkel konstruieren bzw. auch nicht eine Strecke der Länge sin(1°) konstruieren.
Dass der Winkel 1° nicht konstruierbar ist, liegt im Grunde daran, dass 1° = π/180 ist und die Zahl e^(iπ/180) nicht konstruierbar ist. Denn der Grad der Körpererweiterung ℚ(e^(iπ/180)) über ℚ ist keine Zweierpotenz. Denn der Grad dieser Körpererweiterung ist ...
φ(360) = φ(2³ ⋅ 3² ⋅ 5) = φ(2³) ⋅ φ(3²) ⋅ φ(5) = 1 ⋅ 2² ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 2⁵ ⋅ 3.
(Dabei ist φ die eulersche φ-Funktion.)
Von Winkeln mit ganzzahliger Gradzahl sind nur diejenigen konstruierbar, die ein Vielfaches von 3° sind.
Natürlich ist die Schreibweise sin(1°) = sin(π/180) eine exakte mathematische Angabe.
Nur wenn man sich dann etwa um eine "exakte Konstruktion" mittels Zirkel und Lineal (im klassischen Sinne der euklidischen Geometrie) bemüht, dann lässt sich eben ein 1°-Winkel nicht "im absolut strengen Sinn exakt" konstruieren. Der kleinste positive Winkel mit einer ganzzahligen Gradzahl, der sich auf diese (altertümliche) Weise "exakt" konstruieren lässt, ist tatsächlich der Winkel von 3°.
Für praktische Zwecke ist dies aber schon längst kein brauchbares Kriterium mehr, denn die "exakte" klassische Konstruktion eines Winkels von 3° erfordert so viele Teilschritte (z.B. Winkelhalbierungen etc.), so dass auch der allerbeste Zeichner dabei minimale Fehler begeht - womit dann die theoretische Exaktheit gleich wieder flöten geht.
Das besondere an den "streng" konstruierbaren Winkeln ist, dass z.B. der Sinuswert eines solchen Winkels durch einen algebraischen Ausdruck dargestellt werden kann, welcher ausser ganzzahligen Streckenlängen und den Grundoperationen ( +, - ,* , : ) nur Quadratwurzeln enthält.
der hersteller diese seite ist auch user bei GF
da gibt es was exaktes für sin(1 grad)
http://www.lamprechts.de/gerd/sin%28x%29ExactTrigonometricConstants.htm
und eventuell hilft das
https://studyflix.de/informatik/taylorreihen-landausymbol-911