Kann das einer erklären und lösen?

Answer 1

[aperfect10]

Um zu zeigen dass eine Teilmenge U ein Untervektorraum ist, musst Du drei Bedingungen prüfen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Untervektorraum

1. $U \neq \emptyset$
2. $\forall u,v \in U \implies u+v \in U$
3. $\forall v\in U, \alpha \in K \implies \alpha v \in U$

Zur i): Zuerst kümmern wir uns um Bedingung 1. Wir müssen zeigen dass U nicht leer ist, also dass es mindestens ein Polynom P von Grad <= 3 gibt, sodass

$P(e^{i\pi/2}T) = P(T)$ Vielleicht ist es Dir aufgefallen, es gilt

$e^{i\pi/2} = i.$

Jetzt können wir uns ein möglichst einfaches Polynom anschauen, zum Beispiel das Nullpolynom (das Grad 0 hat)

$n(T) = 0$ und sehen dass

$n(iT) = 0 = n(T) \implies n \in U.$ Somit ist U nicht leer und Bedingung 1 ist erfüllt.

Zu Bedingung 2: Wenn u und v in U liegen, liegt auch u + v in U. Hierzu nehmen wir uns zwei Polynome aus U heraus und addieren sie, um zu zeigen dass auch ihre Summe wieder in U liegt.

Seien also

$u, v \in U.$ Dann gilt

$u(iT) = u(T)\quad\text{ und }\quad v(iT)=v(T)$ Addieren wir sie und nennen das Ergebnis w:

$w(T)\coloneqq u(T)+v(T)$ Wenn wir iT in w einsetzen erhalten wir

$w(iT) = u(iT)+v(iT) = u(T)+v(T) = w(T)$ Das Addieren von Polynomen erhöht den maximalen Grad nicht, und da deg(u) und deg(v) <= 3 sind, ist auch deg(w) <= 3. Somit haben wir gezeigt:

$w\in U.$ Bei der Bedingung 3 nehmen wir uns wieder ein Polynom v aus U, und dazu einen Skalar

$\alpha\in \mathbb{C}.$

Multiplikation mit einem Skalar erhöht den Grad eines Polynoms ebenfalls nicht.

Folgende Äquivalenz zeigt dass alpha*v wieder in U liegt:

$v(iT) = v(T) \iff \alpha v(iT) = \alpha v(T).$

Damit wäre auch Bedingung 3 bestätigt. Also ist U tatsächlich ein Untervektorraum von V= C[T].

Zu (ii):

Tipp zu Bedingung 1: Wenn wir eine beliebige Nullfolge angeben können, ist U nicht leer.

Zu Bedingung 2:

Wir nehmen uns zwei Folgen aus U, x und y.

Dann gilt für diese Folgen:

$\forall \delta_1\,\exists N_x \in \N\colon \lvert x_n \rvert < \delta_1\text{ für } n\geq N_x$

$\forall \delta_2\,\exists N_y \in \N\colon \lvert y_n \rvert < \delta_2\text{ für } n\geq N_y$ Und wir müssen zeigen, dass für

$z_n = x_n + y_n$ gilt:

$\forall \epsilon\,\exists N \in \N\colon \lvert z_n \rvert < \epsilon\text{ für } n\geq N$ dann liegt z nämlich auch in U.

Sei also

$\epsilon > 0.$ Da x und y in U liegen existieren zu

$\delta_1 = \delta_2 \coloneqq \frac{\epsilon}{2}$ natürliche Zahlen

$N_x, N_y \in \N,$ sodass

$\lvert x_n \rvert < \delta_1\text{ für } n \geq N_x\text{ und } \lvert y_n\rvert < \delta_2\text{ für } n \geq N_y$ und mit

$N \coloneqq \max\{N_x,N_y\}$ erhalten wir

$\lvert z_n \rvert = \lvert x_n + y_n\rvert \leq \lvert x_n \rvert + \lvert y_n\rvert < \delta_1+\delta_2 = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \quad\text{für } n\geq N$ dank der Dreiecksungleichung. Also ist auch

$(z_n)_n \in U.$ Bedingung 3:

Seien

$(x_n)_n \in U, \alpha \in \mathbb{C}.$ Wir definieren nun

$z_n = \alpha\cdot x_n.$

Da x in U liegt gelten die gleichen Vorraussetzungen wie oben. Wir setzen $\epsilon \coloneqq \lvert \alpha\rvert \delta_1$ Damit erhalten wir $\lvert z_n \rvert = \lvert \alpha x_n \rvert = \lvert \alpha\rvert \lvert x_n\rvert < \lvert \alpha \rvert \delta_1 = \epsilon$ für alle

$n \geq N_x.$ Also ist auch

$(z_n)_n \in U.$ Daraus folgt, dass U ein Untervektorraum von V ist.

Comments

[eterneladam]

Ich kann dir nicht in allem folgen:

Für das Polynom P(T) = -iT gilt doch P(iT) = T

[aperfect10]

@eterneladam

Danke! Da hab ich wohl schon tief und fest geschlafen. Gut dass jemand aufpasst.

[han74]

Und zu 2ii hab ich nur ein Ansatz und komme da auch nicht wirklich weiter

[aperfect10]

@han74

Was hast Du denn schon? Bzw. wie weit bist Du genau?

[han74]

@han74

hab meine anderen Mitstudierenden gefragt, der Ansatz war falsch, die kommen auch nicht wirklich weiter

[aperfect10]

@han74

Hab die Antwort bearbeitet und noch weitere Tips gegeben.

[han74]

@aperfect10

Kannst du Aufgabe 2ii einmal komplett erklären, ich verstehe das mit dem epsilon nicht so wirklich

[aperfect10]

@han74

Fertig. Ich hoffe dass Du es so verstehst.

[aperfect10]

@aperfect10

Ach ja, Bedingung 1 fehlt noch. Kennst Du eine Nullfolge?

[han74]

@aperfect10

Glaube schon, eine Folge die null ist, oder?

[aperfect10]

@han74

Du meinst 0, 0, 0, ... ? Die konvergiert gegen 0, ist also eine Nullfolge. Die können wir nehmen.

Sehr gut, das war's.

[aperfect10]

@han74

Darf ich Dich fragen was das für eine Vorlesung ist, und welcher Studiengang?

[han74]

@aperfect10

Lineare Algebra 1 und ich studiere Finanz und Versicherungsmathematik

[aperfect10]

@han74

Ah, interessant. Viel Erfolg!

[han74]

@aperfect10

Noch eine kurze Frage, was meinst du mit

$N \coloneqq \max\{N_x,N_y\}$

also was hat das für eine Bedeutung?

[aperfect10]

@han74

N soll das Maximum von N_x und N_y sein, also die größere Zahl von den beiden.

Wir wollen N so wählen, dass |x_n| und |y_n| beide kleiner als epsilon/2 sind, sonst gilt die Ungleichung oben ja nicht.

Danke für den Stern!

[han74]

Ich hab das vorhin auch gemacht, aber bei der multiplikation mit dem Skalar kriege ich das i nicht weg

[aperfect10]

@han74

Schau mal, ich hab bei Bedingung 1 etwas korrigiert und unten gezeigt wie Bedingung 3 geprüft wird.