Ist diese Gleichung lösbar?
Hey, ich bin relativ Mathe interessiert und befasse mich derzeit mit Gleichungssystemen etc, nun habe ich im Internet folgende Aufgabe gefunden, und nach meinen Wissen sollte sie doch unmöglich sein da zu wenig Gleichungen für eine Lösung der Variablen da sind
Nun,
Erstmal als Grundbedingung a,b,c müssen alle postiv und ganze Zahlen sein(x/y sind nicht einbegrenzt)
x=60a+13b und y=60a+11c | 2020=4x²-y²
Ich hab hier ja 3 Systeme aber 5 Variablen,
Ich könnte es auf 3 runterbrechen aber das ändert ja nichts an der fehlenden Gleichung oder?
Also 2020=4*(60a+13b)²-(60a+11c)²
Nach dem entklammern lande ich bei
2020=14400a²+676b²-3600a²+121c²
Wie müsste ich jetzt weiter arbeiten?
5 Antworten
Das Gleichungssystem ist unterbestimmt.
Aus 2020 = 4 * (60a + 13b)² – (60a+11c)² folgt nicht 2020 = 14400a² + 676b² – 3600a² + 121c² (Fehler bei der Auflösung der Klammern)
Eine Annäherung:
2020 = 4 * (60a + 13b)² – (60a+11c)²
2020 = 2² * (60a + 13b)² – (60a+11c)²
2020 = (2 * (60a + 13b) + (60a + 11c)) * (2 * (60a + 13b) - (60a + 11c))
2020 = (180a + 26b + 11c) * (60a + 26b – 11c)
Das Produkt muss 2020 ergeben. Der erste Faktor ist größer als der zweite Faktor. Mögliche Faktoren sind:
1010 * 2
505 * 4
101 * 20
Das eingesetzt ergibt 3 mögliche Gleichungssysteme, bestehend aus jeweils 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Bedingung: a, b, c müssen positive ganze Zahlen sein.
Das auszuprobieren überlasse ich Dir.
a = 4 ; b = 1 ; c = 24 erfüllt diese Bedingungen.
Hallo, wie kommt man mit einem Beweis auf die Bedingungen bzw. für die Werte von a, b und c?
Grüße
Nehmen wir als erstes die Faktoren 1010 und 2:
(1) 180a + 26b + 11c = 1010
(2) 60a + 26b – 11c = 2
--------------------------------
(1) 11c = 1010 – 180a – 26b
(2) 11c = -2 + 60a + 26b
--------------------------------
1010 – 180a – 26b = -2 + 60a + 26b
52b + 240a – 1008 = 0
b = (1/13) * (253 - 60a)
Es gilt zudem, dass a, b und c positive ganze Zahlen sind. Folglich ist
253 – 60a > 0
und damit
a < 4,2...
Somit kommen für a nur die Werte 1, 2, 3 oder 4 infrage. Nur a = 4 führt zu einer ganzzahligen Lösung für b.
b = (1/13) * (253 – 60 * 4) = 1
...
Die anderen Faktoren erfüllen die Bedingungen nicht.
Da nur ganze positive Zahlen erlaubt sind, schränkt sich die Lösungsmenge enorm ein: Die Gleichung y= Wurzel(4x²-2020) hat folgenden Graph:
Der Punkt (30|40) liegt leider nicht auf dem Graphen.
das ist so dass nun die drei variablen von einander abhänig sind
da ja nur eine gleichung zur verfügung steht
Als 3D - Diagramm ist dies Gleichung wunderschön :
wenn man alle zulässigen a , b und c Werte erlaubt, wird das daraus : Ein Ellipsoid.
man kann zwei der Werte a , b oder c wählen und dann schauen , was der dritte wird
setzt man einen der drei auf 1 , wird eine Ellipse daraus . ..
aber es gibt echte Mathematiker hier , die wissen sicher mehr ( und warum :) )
PS : Es gibt keine ganzzahligen Lösungen , nicht mal, wenn man zwei der drei Parameter auf Null setzt .
ist ein unterbestimmtes Gelichungssystem.
Du könntest also höchstens noch die Lösung in Abhängikeit von Variablen angeben.
-> Falls ich falsch liege entschuldige ich mich , ist schon relativ lange her :D
Hallo, wie geht man weiter vor, nach 2020 = (180a + 26b + 11c) * (60a + 26b – 11c) ? Bis dahin bin ich auch gekommen, aber dann komme ich nicht weiter...