Ist die Polynomdivision mit Rest für die Nullstellenberechnung relevant?

Oder gibt es da nur ohne Rest?

Answer 1

[Littlethought]

Wenn a eine Nullstelle des Polynoms P(x) ist, dann ergibt die Division p(x) : (x - a) keinen Rest.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Lehrer u. Fachbetreuer für Mathematik und Physik i.R.

Comments

[sarazus]

Hat mir geholfen, warum ist das eigentlich so?

[Littlethought]

@sarazus

Satz von C.F. Gauß: Jedes Polynom lässt sich als Produkt (x - ai) seiner Nullstellen ai schreiben. Diese Nullstellen können aber natürlich auch komplex sein. In der Schule wird dies meist nicht verwendet. Praktisch ist der Satz von Eisenstein:

Sind in der Gleichung x^n + ax^(n-1) + ...+ cx + q = 0 p und q ganze Zahlen, dann sind die Lösungen entweder ganzzahlig oder irrational. Eine ganzahlige Lösung ist dann Teiler von q. Das hilft Lösungen geschickt zu erraten.

[sarazus]

@Littlethought

In der Schule werde ich nicht auf Irrationalität treffen oder?, wenn es um Nullstellen und Polynomdivision geht?

[Littlethought]

@sarazus

Bei quadratischen Gleichungen ist alles möglich. Bei Gleichungen höherer Ordnung ist normalerweise mindestens eine Nullstelle ganzzahlig, oder sie wird angegeben.

Answer 2

[Destranix]

Wenn du einen Rest rausbekommst, dann geht die Division nicht auf und du kannst das, wodurch du dividiert hast, nicht ausklammern.

Sagt dir im Zweifelsfalle womöglich, dass du keine Nullstelle gefunden hast.

Comments

[sarazus]

Kannst du ein Beispiel geben?

[Destranix]

@sarazus

(x-1) : (x-2) = irgendetwas mit Rest => 2 ist keine Nullstelle des Polynoms (x-1).

[sarazus]

@Destranix

Tatsächlich interessant