Intervalle in Mengenlehre?
Hallo! :)
Meine Aufgabe: "Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall: (-∞, 3) ∩ [-9,9]"
Meine Fragen:
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Was bedeutet Intervall in der Mengenlehre?
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Die Lösung ist [-9,3), wieso wird erst eine eckige, dann eine runde Klammer benutzt?
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Wie kommt man auf das Ergebnis?
Ich versteh nicht, was die Aufgabe konkret will. Ich hab versucht es durch Artikel im Internet zu verstehen, hätte aber gedacht, die Lösung wäre (3,9). Kann mir jemand bitte die Aufgabe erklären, wie man auf die Lösung kommt und was das grundsätzlich mit den Intervallen in der Mengenlehre zu bedeuten hat?
Danke!
7 Antworten
Grundsätzlich gibt es drei Schreibweisen für Intervalle:
Zum einen die Schreibweise mit (ausschließlich) eckigen Klammer, zum anderen die Schreibweise mit eckigen und runden Klammern und zuletzt noch die Schreibweise mit Größer-/Kleiner-Zeichen.
Das Intervall ]3; 9] enthält alle Zahlen, die größer als drei und kleiner oder gleich 9 sind.
Dabei steht eine nach außen geöffnete Klammer ("]" am Anfang, "[" am Ende) oder eine runde Klammer für eine exklusive Grenze (betroffene Zahl ist nicht im Intervall) und eine nach innen geöffnete Klammer ("[" am Anfang, "]" am Ende) für eine inklusive Grenze (betroffene Zahl ist im Intervall enthalten).
Dies kann man sich auch einfach verdeutlichen: Ist die Grenze inklusiv, "umschließt" die dazugehörige Klammer diese, ist sie exklusiv, "dreht sich die Klammer weg".
]3; 9] ⇔ (3; 9] ⇔ 3 < x ≤ 9
Die Grenze zu 3 ist exklusiv, das bedeutet, dass die 3 selbst zwar nicht im Intervall ist, sehr wohl aber die 2,9999 und die 2,9999999 (wenn das Intervall reelle Zahlen enthält).
Das Intervall stellt also alle Zahlen dar, die zwischen 3 und 9 liegen, ohne die 3, aber mit der 9.
Einige andere Beispiele:
]3; 9[ ⇔ (3; 9) ⇔ 3 < x < 9
[3; 9] ⇔ 3 ≤ x ≤ 9
[3; 9[ ⇔ [3; 9) ⇔ 3 ≤ x < 9
Eine Grenze zu Unendlich ist immer exklusiv, da unendlich keine Zahl ist und nicht im Intervall enthalten sein kann.
Das Zeichen ∩ steht für die Schnittmenge zweier Mengen oder Intervalle. In A ∩ B sind alle Elemente enthalten, die in A UND in B enthalten sind.
(-∞; 3) ∩ [-9; 9]
Das erste Intervall enthält alle negativen Zahlen sowie alle positiven Zahlen bis exklusiv 3.
Das zweite Intervall enthält die negativen Zahlen bis einschließlich -9 sowie die positiven Zahlen bis einschließlich 9.
Welche Zahlen sind nun in beiden Intervallen enthalten?
Dazu nimmst du die kleineren Grenzen beider Intervalle.
Für die linke Grenze ist dies -9 (inklusiv), für die Rechte Grenze 3 (exklusiv).
Daraus folgt: (-∞; 3) ∩ [-9; 9] ⇔ [-9; 3)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Intervall bedeutet in der Mengenlehre dasselbe wie in der restlichen Mathematik - die Menge aller Elemente einer Grundmenge, die gemäß einer Vergleichsrelation R zwischen zwei Elementen a, b dieser Menge liegen.
a R x und x R b.
Die Schreibweisen sind (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) je nachdem, ob die Grenze im Intervall enthalten ist "[", "]" oder nicht "(", ")".
Statt der runden Klammer wird auch die umgedrehte eckige Klammer verwendet: ]a, b[, ]a, b]...
In der Schnittmenge sind alle die Zahlen, die sowohl in der einen als auch in der anderen Menge sind.
Das Intervall [3;9] sind die Zahlen, die zwar in der zweiten aber nicht in der ersten Menge sind. Das wäre die Differenzmenge.
Ansonsten siehe Tannibi.
- Ein Intervall ist eine Menge an aufeinanderfolgenden, reellen zahlen.
- Die -9 ist in beiden Mengen enthalten, deswegen die eckige Klammer.
Die 3 ist nicht in der ersten Menge enthalten, deswegen ist die schließende Klammer rund. - [ max(-∞,-9);min(3,9) )
Intervall bedeutet Bereich. Du hast da zwei Intervalle,
von denen du die Schnittmenge bilden sollst
[ beideutet, dass die Zahl dahinter in der Menge ist,
) bedeutet, dass die Zahl davor nicht mehr drin ist.
Die erste Menge geht von -∞ bis "kurz vor 3",
3 ist also nicht mehr drin. Die zweite Menge
geht von -9 bis 9 (beide sind drin). Also fängt die
Schnittmenge bei -9 an und geht bis "kurz vor 3",
aber ohne die 3 selbst.
Vielen vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! Nun verstehe ich es :) Sehr gut erklärt! Danke!