Integral Flächenberechnung in zwei Quadranten?
Was muss ich beachten, wenn zum Beispiel ein Intervall von (-1;2) angegeben ist und die Funktion 1/6x^3 - 1/2x ist? Ich bräuchte nur kurz eine Vorgehensweise, besonders wie ich mit dem Intervall umgehe.
2 Antworten
Die Quadranten sind -solange sie im ersten oder zweiten sind- an sich egal. Wichtig ist, wo eine Funktion negative Werte annimmt. Dafür muss man Nullstellen und die Steigung betrachten. Die einzelnen Teilflächen (positive und negative) musst du dann einzeln im Betrag betrachten und diese positiven Flächen dann addieren.
Ja, bei der Unterteilung der einzelnen Intervalle. Graphisch wäre das leichter zu erklären...
Die Bereiche zwischen den Nullstellen bzw von einer Nullstelle weg sind immer die, wo sich das Vorzeichen ändern kann (muss es nicht zwangsläufig). Deswegen sollte man seine Fläche auch so unterteilen, denn dann kann man gezielt die Beträge der Teilflächen betrachten.
Du gehst -sondern kein bestimmtes Intervall gegeben ist, von -unendlich bis zur ersten NS, dann von der ersten zur zweiten und so weiter bis zur n-ten NS und von dort aus bis plus unendlich.
Wenn nur die zwischen Graph und x-Achse eingeschlossene Fläche gesucht wird, gehst du nur von der 1. ....... bis zur letzten NS.
Wenn ein Teil der Kurve unterhalb der x-Achse ist und der andere oberhalb musst du die Integrale getrennt berechnen und die Beträge der Ergebnisse addieren.
Also muss ich quasi den Betrag von F(-1) plus den von F(2) rechnen und dann habe ich die Gesamtfläche raus? Das erscheint mir irgendwie zu simpel, ich habe das Gefühl, ich muss da noch irgendwas mit den Nullstellen beachten oder so, nur weiß ich absolut nicht was.
Wenn du den Fall hast, dass du einen Graph oberhalb und unterhalb der x-Achse hast, berechnest du zuerst die Nullstelle(n). Das funktioniert über f(x) = 0.
Dann berechnest du das Integral auf dem ersten Intervall bis zur Nullstelle, dann das auf dem nächsten Intervall ab der Nullstelle. Wenn du mehr als eine Nullstelle hast, berechnest du auch das Intervall zwischen den Nullstellen extra. Von den Integralen über die Intervalle nimmst du die Beträge und addierst sie.
Der Ansatz den du gerade erwähnt hast ist falsch, weil du damit nur die Werte der Stammfunktion an x =-1 und x=2 ausrechnen würdest und nicht den Inhalt der gesamten Fläche.
Spielen die Nullstellen irgendeine Rolle, wenn ich die beiden Flächen ausrechne? Ich würde jetzt den Betrag von F(-1) plus den von F(2) rechnen, um auf die Gesamtfläche zu kommen.