Integral — neues Thema?
Hallo,
ich hab zum ersten Mal das Thema Integral. Meine Lehrerin war noch nicht da , aber hat uns ein Arbeitsblatt gegeben , damit wir vielleicht ein paar Aufgaben lösen können. Ist a) richtig beschrieben und habe ich die Abschnitte richtig gekennzeichnet :
Der Aufzug fährt ab der 1 sek 2 m/s Schnell. Von der ersten bis zur vierten Sekunde bleibt die Geschwindigkeit des Aufzuges gleich, also 2 m/s. Ab der vierten bis zur fürften Sekunde fährt der Aufzug langsamer und die Geschwindigkeit bleibt dann von der fünften bis zu siebten Sekunde Om/s, also kommt der Aufzug in diesem Moment zum Stehen. Von der 7 bis zur 8 S wird der Aufzug noch langsamer und verringert seine Geschwindigkeit um-2 m/s. Von der 8 bis zur 9 S ist die Geschwindigkeitnoch immer um -2 als verringert. Zuletzt, von der 9 bis zur 10 S, erreicht der Aufzug eine Geschwindigkeit von O m/s, weil er allmählig zum Stehen kommt.
bei der b ) habe ich die Frage ob sie es so meint : [0,1] = 2 m/s
[1,4]= 2/3 m/s usw….
3 Antworten
Die Teilaufgabe a), also die Beschreibung der Fahrt des Aufzugs, hast du im Wesentlichen richtig bearbeitet. Ergänzend würde ich nur für das Zeitintervall von Sekunde 0 bis Sekunde 1 anmerken, dass die Fahrgeschwindigkeit des Aufzuges in diesem Zeitraum zunimmt, und zwar ausgehend von der Anfangsgeschwindigkeit 0. Das ist also das Anfahren des Aufzugs.
Die Teilaufgabe b) ist etwas komplizierter: Hier sind letztlich Geradengleichungen verlangt, und zwar 7 Stück, weil der Geschwindigkeitsgraph aus 7 Geradenabschnitten zusammengesetzt wird. Die Steigungen der einzelnen Geradenabschnitte kannst du aus dem Diagramm ablesen. Jeder Geradenabschnitt ist die Geschwindigkeitsfunktion für das Zeitintervall, für das der Geradenabschnitt gezeichnet ist.
Schauen wir das Intervall [0, 1] an: Der Geradenabschnitt beginnt im Punkt (0, 0) und endet im Punkt (1, 2). Die Gerade hat also die Steigung 2. Die Geschwindigkeitsfunktion ist v(t) = 2*t
Im Intervall [1, 4] ist Geschwindigkeit konstant: Sie beträgt 2 m/s. Die Gerade hat die Steigung 0. Die Geschwindigkeitsfunktion ist also v(t) = 2. Die Geschwindigkeitsfunktion kann unter Verwendung der Steigung 0 aber auch trickreich so geschrieben werden: v(t) = 2 + 0*(t - 1).
Im Intervall [4, 5] fällt die Geschwindigkeit innerhalb einer Sekunde von 2 m/s auf 0 m/s ab. Die Gerade hat die Steigung -2. Die Geschwindigkeitsfunktion ist jetzt komplizierter anzugeben; sie lautet: v(t) = 2 - 2*(t - 4) wobei für t nur die Werte in [4, 5] eingesetzt werden dürfen.
Im Intervall [5, 7] steht der Aufzug still; das entspricht einer konstanten Geschwindigkeit von 0 m/s.
Versuche jetzt, die Geradengleichungen für die übrigen Intervalle aufzustellen.
Teilaufgabe c)
Die Teilflächen kannst du kästchengenau durch Abzählen bestimmen. Du kannst aber auch die Flächenformeln für Dreieck und Rechteck verwenden, wenn dir das lieber ist. Wenn das Thema in der Schule besprochen wird, wirst du lernen, dass der Flächeninhalt dees Trapezes oberhalb der x-Achse positiv ist, während der Flächeninhalt des Trapezes unterhalb der x-Achse negativ anzugeben ist. (as steht im übrigen in der Teilaufgabe c)
merke dir: die Fläche unter dem v-t-Diagramm entspricht dem zurückgelegten Weg
Eine Frage , wie berechnet man dann die Fläche von 5-7
Im Intervall [5, 7] hast du als Fläche ein Rechteck der Höhe 0. Dieses Rechteck hat keinen Flächeninhalt bzw. den Flächeninhalt 0 in mathematischer Sprechweise.
dankeeee, das hat mich sehr verwundert, weil es auch so komisch aussieht
von der 7. bis zur 10. Sekunde fährt der Aufzug nach unten (negative Geschwindigkeit bedeutet Bewegung in die entgegengesetzte Richtung)
von der 7. bis zur 8. Sekunde beschleunigt der Aufzug (die Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig zu). zwischen der 8. und 9. Sekunde fährt der Aufzug mit konstanter Geschwindigkeit, zwischen der 9. und 10. Sekunde bremst er gleichmäßig ab bis er bei der 10. Sekunde zum Stillstand kommt
b)
v(t) jeweils in m/s und t in s
v(t) ist in jedem Intervall eine Gerade
[0;1]: v(t)=2t Steigung der Geraden ist 2/1 der y-Achsenabschnitt 0
[1;4]: v(t)=2 Steigung=0, konstanter y-Wert
[4;5]: v(t) =-2(t-5) = -2t+10 Steigung der Geraden ist -2/1 die Gerade ist um 5 nach rechts verschoben und hat bei t=5 eine Nullstelle
[5;7]: v(t) = 0
[7;8]: v(t) = -2(t-7) = -2t+14
[8;9]: v(t) = -2
[9;10]: v(t) = 2(t-10) = 2t-10
Vielen Dank, müsste der Intervall von [8,9] aber nicht 0 sein ?
im Intervall [8;9] ist die Steigung null (also die Beschleunigung), die Geschwindigkeit v ist aber v= -2 m/s
ja genau
du kannst das mit v(9)=-2 und v(10)=0 nachprüfen, einfach t=9 bzw. t=10 einsetzen
Zu a) Deine Beschreibung ist zwar nicht falsch aber in Teilen ohne den realistisch, physikalischen Gehalt, weshalb Du vielleicht auch das Intervall [0;1] ausgelassen hast. Was bedeutet es zum Beispiel, wenn die Geschwindigkeit zunimmt. Das Stichwort lautet dann "Beschleunigung/beschleunigte Bewegung" und daraus folgt dann auch (und hier soll es ja bald um Integrale gehen), dass der vom Aufzug zurückgelegte Weg quadratisch von der Zeit abhängt (v=a·t und s = (1/2)·a·t²), während er bei konstanter Geschwindigkeit linear mit der Zeit geht (s = v·t).
Genauso gehst Du in Deiner Beschreibung nicht ein, was es bedeutet, wenn v=0 ist (der Aufzug bleibt in einem Stockwerk stehen, damit jemand aus- oder einsteigen kann) und auch nicht darauf, was bedeutet, dass der Aufzug eine negative Geschwindigkeit hat (er fährt nach unten, wenn eine positive Geschwindigkeit ein "nach oben fahren" bedeuten soll).
Zu b) hierzu habe ich Dir oben schon Hinweise gegeben was da meines Erachtens hingeschrieben werden soll: Bewegungsgleichungen/Funtionsvorschriften für die einzelnen Intervalle.
Vielen Dank ! Gibt das Integral in dem Falle also an wie viele Menschen sich im Aufzug befinden ?