indirekter Beweis Teilerregel?
Guten Abend,
für die Teilerregel
∀𝑎,𝑏,𝑐 ∈ Z∶ 𝑎 | 𝑏 und 𝑎 ∤ 𝑐 ⇒ 𝑎 ∤(𝑏+𝑐)
soll ich einen indirekten Beweis benutzen. Leider weiß ich nicht, was ich alles "umstellen" soll, damit es ein Widerspruchsbeweis wird.
Würde mich sehr über Hilfe freuen! Danke!
2 Antworten
- Möglichkeit 1 (siehe @eterneladam):
Angenommen (a | b) und (a | (b+c)), dann gibt es ein k,l € Z mit
(I) a*k = b
(II) a*l = b + c
Aus (II) folgt wegen b = a*k:
a*l = a*k + c
a*l - a*k = c
a*(l - k) = c
Daraus folgt (a | c), denn (l-k) € Z
Widerspruch zu (a ∤ c)
- Möglichkeit 2:
Aus a | b folgt die Existenz eines k € Z mit a * k = b
Aus a ∤ c folgt die Existenz eines x € R mit a * x = c
Daraus folgt
b+c = a*k + a*x
b+c = a*(k + x)
Daraus folgt a ∤ (b+c), denn (k+x) € R
Man nimmt das Gegenteil an, also a | (b+c).
Nach der ersten Voraussetzung gilt a | b, daraus kann man zusammen mit der Annahme direkt folgern, dass
a | ( (b+c) - b), also a | c,
im Widerspruch zur zweiten Voraussetzung.