Differenz der Quadrate 2 natürlichen Zahlen?
hallo, ich bin auf folgende Aussage gestoßen:
Es gibt keine zwei natürlichen Zahlen, sodass die Differenz ihrer Quadrate gleich 10
ist.
Meine 2 Aussagen:
A:a und b sind Elemente de natürlichen Zahlen
B:a^2 - b^2 ≠ 10
Ich habe dafür eine Fallunterscheidung gemacht. Wenn entweder a oder b=0
ist, dann ist der andere Summand = wurzel 10 und ist somit keine natürliche Zahl.
Beim Fall 2 habe ich a und b>0 betrachtet, jedoch komme ich weder mit dem indirekten oder Widerspruchsbeweis nicht zum Ergebnis.
Hättet ihr Tipps oder Denkanstöße für mich? Vielen Dank!
es ist natürlich a^2 - b^2 ≠ 10 :) ich habe mich vertippt
3 Antworten
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Ich bin kein Experte aber das wäre meine Idee
Versuchen wir es mal als Widerspruch:
seien a und b natürlich
a^2-b^2 = 10
stellen wir Mal um erhalten wir:
b = √(a^2 - 10)
Das bedeutet, dass es eigentlich reicht zu zeigen, dass √(a^2 - 10) nicht natürlich ist. Weil dann ist schließlich b keine natürliche Zahl und somit erhalten wir einen Widerspruch, da wir angenommen hatten, dass b natürlich ist.
Wie soll das aber nun gehen? Dazu muss man zeigen, dass a^2 - 10 keine Quadratzahl ist. Weil wenn der Ausdruck unter der Wurzel keine Quadratzahl ist, kann der gesamte Ausdruck nicht natürlich sein.
a ist schließlich, nach Voraussetzung, auch natürlich. Jetzt stellt sich mir aber das Problem, dass alles wieder von vorne los geht... man kommt durch meinen Nasatz irgendwie in eine unendliche Spirale
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hey! ich habe a^2-b^2 = (a+b)(a-b) geschrieben und 10 = 1*10 = 2*5. Danach habe ich mit ungeraden und geraden Zahlen argumentiert, wobei ich mir sicher bin, dass man auch mit der Eindeutigkeit argumentieren kann (es gibt nur eine Lösung für a und b).
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- Nimm an, dass du zwei natürliche Zahlen a, b mit a² - b² = 10 hast.
- Nutze die dritte binomische Formel.
- Nutze die Primfaktorzerlegung von 10, um zu schlussfolgern, welche Werte die Faktoren annehmen können.
- Zeige, dass keines der oben ermittelten Faktor-Paare möglich ist.
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Aussage B sieht mir jetzt nicht nach einer Differenz aus 🤔
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