Indirekter Beweis?
Kann mir jemand helfen den Folgenden Beweis zu verstehen. Ich verstehe nicht weshalb 2=p^2/q^2 keine Natürliche Zahl sein kann.
2 Antworten
Ich verstehe nicht weshalb 2=p^2/q^2 keine Natürliche Zahl sein kann.
p²/q² kann keine natürliche Zahl sein, weil gemäß Voraussetzung p/q ein vollständig gekürzter Bruch ist und außerdem q>1 ist.
"Vollständig gekürzt" bedeutet, dass p und q keine gemeinsamen Teiler haben. Damit haben aber auch p² und q² keine gemeinsamen Teiler. Somit kann auch p²/q² nicht gekürzt werden, und da q>1 ist, kann das Resultat keine natürliche Zahl sein.
Natürlich, wie bin ich da nicht draufgekommen, Danke!
p und q sind natürliche Zahlen, der Bruch p/q ist vollständig gekürzt, q ist nicht 1. Daher sind p und q teilerfremd. Damit ergibt sich:
- p² und q² sind natürliche Zahlen
- p² und q² sind teilerfremd, weil p und q teilerfremd sind
- q² ist > 1
Da p² und q² teilerfremd sind, kann q² nicht p² so teilen, dass der Ergebnis eine ganze Zahl ist.