Äquivalenz zwischen Teilbarkeitsfunktion und Teilermenge?
Hallo, liebe Mathematiker,
bei nachfolgender Aufgabe weiß ich leider nicht, wie ich a, bzw. b in der jeweils anderen Teilermenge darstellen soll...
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Seien 𝑎, 𝑏 ∈ N. Beweisen Sie die Äquivalenz
𝑎|𝑏 ⟺ 𝑇 ( 𝑎) ⊆ 𝑇 (𝑏)
Dabei ist 𝑇 (𝑎) bzw. 𝑇 (𝑏) die Teilermenge von 𝑎 bzw. 𝑏.
1 Antwort
Gelte a|b und sei c aus T(a), dann gilt auch c|a und damit c|a|b, so dass c auch in T(b) ist. Damit ist die Inklusion gezeigt.
Es gelte die Inklusion. Trivialerweise gilt a|a, also liegt a in T(a), nach Voraussetzung dann auch in T(b), was nach Definition heisst, dass a|b.
@eterneladam: Vielen herzlichen Dank!
Ich hatte meinen Ansatz, glaub, viel zu kompliziert aufgeschrieben. Aber zumindest für eine Richtung sinnvoll: a I b "ist gleichbedeutend mit" "Es gibt ein k aus N: a*k=b. T(a): alle x: x I a. T(b): alle y: y I b. Wegen x I a: l*x=a.
"daraus folgt": a*k=b=l*x*k=b.
Also: l*x teilt b.
(sorry, ich weiß nicht, wo bei pages die math. Sonderzeichen sind)