Beweis, abgeschlossene Menge?
Guten Abend,
kann mir jemand erklären (bzw. beweisen), warum in diesem Beweis A eine abgeschlossene Menge ist?
Anschaulich ist es mir klar, aber beweisen kann ich es nicht und wird hier auch nicht getan.
Freue mich über hilfreiche Antworten :)
2 Antworten
Ein kurzes Argument ist ja angegeben. Der Grenzwert jeder konvergenten Folgen (xn) liegt auch in A+, denn wegen f stetig gilt: f(lim xn)=lim f(xn) ≤ y. Außerdem ist [a,x+] abgeschlossen und enthält somit auch lim xn.
Verwendet wird hier, dass eine Teilmenge A eines metrischen Raums genau dann abgeschlossen ist, wenn sie den Grenzwert aller konvergenter Folgen in A enthält.
Wenn xₙ → x, gilt wegen der Stetigkeit auch f(xₙ) → f(x).
Wenn jetzt x bzw f(x) strikt kleiner bzw größer als a, x⁺ bzw y ist, findet man jeweils eine ε-Umgebung um x bzw f(x), wo kein Punkt in [a, x⁺] enthalten bzw ≤ y ist. Wegen der Konvergenz müssten aber ab einem bestimmten xₙ bzw f(xₙ) in diesen Umgebungen liegen.
Man kann zB ε = (a - x)/2 falls x < a.