Ich will diese Sattelstütze auf mein Fahrrad montieren, sollte ich dabei etwas schmieren?

Du solltest die Gebrauchsanweisung lesen und erzähle mir nicht, dass es keine gibt.

Ist das eine Federsattelstütze?
Ich habe an meinem Rad den Teil gefettet, der in den Rahmen hineinkommt und alle Kontaktflächen Metall auf Metall (Klemmung, Schienen usw.), nur nicht die Schraubengewinde.

Und zwar mit MONTAGEPASTE.
Diese verhindert durch die darin enthaltenen Reibpartikel einerseits ein Durchrutschen bzw. Absacken von Bauteilen, das Fett darin verhindert Knarzgeräusche.

Montagepaste ist ausschließlich für Bauteile, die einander HALTEN sollen, nicht für solche, die aneinander vorbeigleiten sollen (wichtig!).

An die Teile dieser Stütze, die aneinander vorbeigleiten sollen, darf KEINE Montagepaste dran!

Den Schaft der Stütze. Der muss gefettet werden, damit er nicht im Sitzrohr fest rostet/korrodiert.

Ja solltest du. Generell alles was verschraubt wird oder eingesetzt

Ja, die Brems9en