Ich komme da echt nicht weiter, weiß jemand die Lösung?
Sofia hat 52 identische rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke. Sie möchte einige der Dreiecke nutzen, um lückenlos und ohne Überlappung ein Quadrat zu legen. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die seitenlänge eines solchen Quadrats?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10
2 Antworten
Diese Frage wurde in letzter Zeit einige Male gestellt. Man kann ein Quadrat aus 2 Dreiecken (Hypotenusen zusammenlegen) oder aus 4 Dreiecken (Katheten zusammenlegen) bilden. Jetzt muss man nur noch überlegen, wie oft man mit diesen Mustern als Basis größere Quadrate legen kann.
Die Seitenlängen der Quadrate müssen ganzzahlige Vielfache der Länge der Hypotenuse oder einer Kathete eines der Dreiecke sein.
(Hypotenuse und Kathete sind "inkommensurabel", d. h. ihr Quotient ist irrational, damit ist es unmöglich, diese Seiten zu mischen, ohne dass Lücken bleiben oder es zu Überlappungen kommt.)
Kann man ein Quadrat mit der Seitenlänge Kathete eines Dreiecks und ein Quadrat mit der Seitenlänge Hypotenuse eines Dreiecks legen? Gibt es weitere Möglichkeiten, Quadrate zu legen, die nicht aus anderen Quadraten zusammengesetzt sind?
Wie viele solcher Quadrate kann man jeweils ggf. zu einem größeren Quadrat zusammenlegen, ohne zu viele Dreiecke zu benötigen?
Wie gauss58 sagte, gibt es zwei minimale Möglichkeiten, ein Quadrat aus kongruenten gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken zusammenzusetzen. Eine davon braucht zwei, die andere vier Dreiecke.
Aus solchen Quadraten kann man größere Quadrate zusammensetzen, indem man eine bestimmte Anzahl Quadrate nebeneinanderlegt und ebensoviele Quadratreihen übereinander. Bei k Quadraten nebeneinander besteht das große Quadrat aus k×k kleinen Quadraten.
Jetzt muss man noch jeweils die größte Zahl k finden, für die 2×k×k bzw. 4×k×k 52 nicht übersteigt. Die möglichen Quadratseitenlängen sind dann 1, 2, 3,
.., k_max
Die beiden k_max muss man dann noch addieren.
Ich komme so auch echt nicht viel weiter. Ich habe die Aufgabe zitiert. Siehe Känguru 2020 - Klassenstufen 7 und 8