Berechnung der Ableitungsfunktion mit der "h-methode"
Liebe Leser,
ich habe ein Problem und habe im internet keine Erklärung zu einer Ableitung mit der "h-methode" mit einem Bruch gefunden.
Aufgabe : f(x) = 2 / x+3
Die Formel der "h-methode" lautet f'(x)= lim h->0 f(x+h)-f(x) / h
Danke im Vorraus
2 Antworten
Ich nehme an, dass da ein Bruch mit 2 überm und (x+3) unterm Bruchstrich stand?
Das Schema mit der h-Methode ist
f(x+h) - f(x)
Ableitung f'(x) = lim ------------------------
h->0 h
f(x+h) = 2 / (x+h+3) f(x) = 2/(x+3)
f'(x) = (2 / (x+h+3) - 2 / (x+3)) / h | gleichnamig machen
2(x+3) - 2 (x+h+3) 1
------------------------ * ----
(x+h+3)(x+3) h
- 2 h 1
------------------------ * ----
(x+h+3)(x+3) h
- 2
------------------------
(x+h+3)(x+3)
(h gegen 0) = - 2 / (x+3)²
Nicht einfach abschreiben!
Danke für die Antwort hab noch weitere aufgaben in diesem Format kann also weiter machen vielen Dank:)
Ziel ist es, das h im Nenner loszuwerden, da man ja nicht durch Null teilen kann.
f'(x) = lim[h→0] (f(x+h)-f(x)) / h
Erstmal einsetzen.
f'(x) = lim[h→0] (2/(x+h+3) - 2/(x+3)) / h
Die Brüche gleichnamig machen.
f'(x) = lim[h→0] (2(x+3)/((x+3)(x+h+3)) - 2(x+h+3)/((x+3)(x+h+3))) / h
Die Brüche zusammenfassen.
f'(x) = lim[h→0] ((2(x+3)-2(x+h+3)) / ((x+3)(x+h+3))) / h
Den Zähler vereinfachen.
f'(x) = lim[h→0] ((2x+6-2x-2h-6)) / ((x+3)(x+h+3))) / h
f'(x) = lim[h→0] ((-2h) / ((x+3)(x+h+3))) / h
h kürzen
f'(x) = lim[h→0] (-2) / ((x+3)(x+h+3))
Den Grenzwert bilden, dazu setzt man hier h gleich Null.
f'(x) = (-2) / ((x+3)(x+3))
f'(x) = -2 / (x+3)²