Ich habe 100 Euro zu Verfügung . Dafür möchte ich 30 Autos kaufen . Die Autos kosten 1 Euro , 5 Euro und 8 Euro. Welche Kombinationen sind alles möglich wenn?
Ich habe 100 Euro zu Verfügung . Dafür möchte ich 30 Autos kaufen . Die Autos kosten 1 Euro , 5 Euro und 8 Euro. Welche Kombinationen sind alles möglich wenn genau 100 Euro ausgegeben werden sollen. Kann das einer für mich rechnen ? Mit eventuell einen nachvollziehbaren Rechen weg
7 Antworten
a + b + c = 30
a + 5b + 8c = 100
Und dann eben schauen, welche Lösungen es für dieses LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten gibt.
Ja soweit war ich auch , aber dann komme ich leider nicht weiter .
Das Gleichungssystem ist ja schon aufgestellt worden:
I. a + b + c = 30
II. a + 5b + 8c = 100
Offenbar ist das Gleichungssystem unterbestimmt, d. h. du hast nur zwei Gleichungen für 3 Variablen. Du kannst also eine Variable frei wählen. Dazu kommt aber die Bedingung, dass die Werte natürlich ganzzahlig und nicht negativ sind. Das kann man ausnutzen.
Aus der ersten Gleichung kannst du folgern, dass a = 30 - b - c sein muss. a lassen wir jetzt mal beiseite, wenn wir zulässige Werte für b und c haben, können wir prüfen, ob das auch für a passt. Wir setzen den Wert für a in die II Gleichung ein:
30 - b - c + 5b + 8c = 100
Zusammenfassen:
4b + 7c = 70 und das heißt
b = (70-7c) / 4
Jetzt ist die Frage: Welche ganzen Zahlen größer gleich Null kann ich für c einsetzen, damit b eine ganze Zahl größer gleich Null ist?
Zunächst muss c gerade sein (denn sonst ist 70-7c ungerade und sicher nicht durch vier teilbar). Da 70 nicht durch 4 teilbar ist, darf auch 7c und damit c nicht durch vier teilbar sein, da sonst 70-7c nicht durch 4 teilbar ist. Bleiben die Zahlen
c=2, c=6 und c=10.
Aus c = 2 folgt b = 14 und a = 14.
Aus c = 6 folgt b = 7 und a = 17
Aus c = 10 folgt b = 0 und a = 20.
Das sind die drei Lösungen.
b darf nicht negativ sein, weil hier ja nach Anzahlen gefragt wird - ich kann ja nicht -3 Autos kaufen.
Jetzt habe ich ja
b = (70 - 7c) : 4 (und bitte, bitte! nie an dieser Stelle die Klammern weglassen, dann wird es falsch!)
Ich habe am Anfang geschrieben, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist, und ich daher eine Variable frei wählen kann. Ich entscheide mich, c frei zu wählen. Ich hätte das Gleichungssystem auch anders auflösen können, aber ich habe es eben so umgeformt, dass am Ende eine Gleichung da steht, in der eine Variable (b) davon abhängt, wie ich eine andere (nämlich c) wähle.
Wenn ich nur das Gleichungssystem hätte, dann wäre ich komplett frei. Ich könnte zum Beispiel c = 571/6 wählen (das ist jetzt komplett willkürlich!). Dann wäre
b = (70-571/6) / 4 = -151/24 und
a = 30 - b - c = a - 571/6 + 151/24 und das rechne ich gar nicht mehr aus. Aber diese Werte für a, b und c wären eine Lösung meines Gleichungssystems. Und davon gibt es dann unendlich viele.
Nun habe ich aber nicht NUR das Gleichungssystem, sondern ich habe die Nebenbedingung, dass alle drei Werte ganzzahlig sind (halbe oder viertel Autos kann ich nicht kaufen) und nicht negativ (negative Autos kann ich auch nicht kaufen).
Das schränkt meine Wahl von c ein. Erstmal muss c selber ganzzahlig und nicht negativ sein, ich kann also nur c = 0,1,2,3,.... usw. einsetzen. Jetzt muss aber auch b = (70 - 7c) : 4 ganzzahlig sein und darf nicht kleiner als Null werden. Das schränkt meine Auswahl weiter ein.
Zunächst einmal beschränke ich mich auf die Frage, wie ich c auswählen kann, dass b nicht negativ wird, also wie ich c wählen, so dass
(70-7c)/4 >= 0 gilt. Das ist der Fall wenn
70-7c >= 0 also wenn
10 - c >= 0 also wenn
10 >= c ist. Damit habe ich die Auswahl von c weiter eingeschränkt, nämlich auf c=0,1,2,3...10.
Und jetzt muss (70-7c)/4 auch noch eine ganze Zahl sein. Das ist dann eine ganze Zahl, wenn man die 4 kürzen kann, d. h. 70-7c muss durch 4 teilbar sein.
Wenn 70-7c durch 4 teilbar ist, heißt das, dass 7 (10-c) durch vier teilbar ist. Da 7 eine Primzahl ist und weder durch 2 noch durch 4 teilbar, muss also 10-c durch 4 teilbar sein. Und von allen Werte c = 0,...,10 gilt das nur für
c=2 (denn 10-2 = 8 ist durch vier teilbar)
c=6 und
c=10
Hallo,
a+5b+8c=100
a+b+c=30
Subtrahieren
4b+7c=70
4b = 7•(10-c)
b muss ein Vielfaches von 7 sein und 10-c ein Vielfaches von 4.
b=0 --> c=10
b=7 --> c=6
b=14 --> c=2
(b=21 --> c= -2)
Jetzt noch jeweils a ausrechnen und überprüfen, ob beide Gleichungen gelten.
Bis zum Schritt b=70-7c :4 kann ich folgen
das ist schon mal gut
.
bisschen umschreiben
.
b = (70-7c) / 4
b = 70/4 - 7c/4
b = 17.5 - 7c/4
man darf kein c einsetzen , was dazu führt ,dass 7c/4 größer als 17.5 ist ,weil b sonst unerlaubt negativ würde
.
Nun kann man alle c kleiner 11 probieren ,denn mit c = 10 würde b = 0 werden
so käme man zum Ziel mit vielen Rechnungen
.
Oder man überlegt ,dass bei 7c/4 eine Zahl mit Halben rauskommen muss , damit aus 17.5 eine ganze Zahl wird
.
7c/4
nur wenn c gerade ist , werden Halbe draus
c = 10 ok weil 17.5
c = 8 nicht ok , weil genau 14
c = 6 ok ,weil 10.5
c = 4 nicht ok , weil genau 7
c = 2 ok
14 Autos zu je 1 Euro, 14 Autos zu je 5 Euro und 2 Autos zu je 8 Euro
17 Autos zu je 1 Euro, 7 Autos zu je 5 Euro und 6 Autos zu je 8 Euro
20 Autos zu je 1 Euro und 10 Autos zu je 8 Euro
Die Rechenwege musst du selber herausfinden.
Danke . Kannst du mir vielleicht deine Rechenwege noch mitteilen . Ich bräuchte es wirklich dringend und ich blicke da leider kein wirkliches System hinter , das ich es verstehe .
Danke erstmal . Ich habe allerdings noch ein ein, zwei Sachen die ich nicht ganz nachvollziehen kann . Bis zum Schritt b=70-7c :4 kann ich folgen .
Das mit was ich für c einsetzen kann damit b größer als 0 ist verstehe ich nicht .
Könntest du mir die Schritte ab dem zusammenfassen noch einmal erklären . Auch wie du auf die Werte c 2 ,c6 und c10 kamst . Das wäre sehr hilfreich .