Hoch-/Tiefpunkte bei e-Funktionen brechnen
Hallo Community,
ich soll bei dieser Funktion: x+e^-x
die Stellen berechnen, bei der die Tangenten waagerecht sind. Das wären dann doch die Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen, oder? Wie genau mache ich das?
Ich habe jetzt erst mal die 1. Ableitung berechnet, das wäre dann 1-e^-x, oder? Ich habe bei Geogebra nachgesehen, der einzig mögliche Punkt liegt bei 1 auf der y-Achse. Woher weiß ich das, wenn ich keine grafische Darstellung habe? Ich versuch es jetzt schon seit einer Ewigkeit, aber ich komme einfach nicht drauf.
Vielen Dank :)
6 Antworten
Hallo !
Deine Funktion lautet -->
f(x) = x + e ^ (-x)
Die 1-te Ableitung deiner Funktion lautet -->
f´(x) = 1 - e ^ (-x)
Die 2-te Ableitung deiner Funktion lautet -->
f´´(x) = e ^ (-x)
Nun setzt du die 1-te Ableitung deiner Funktion gleich Null -->
1 - e ^ (-x) = 0
Nun rechnest du die Nullstellen der Funktion aus -->
1 = e ^ (-x)
ln (1) = -x
x = -ln(1)
x = 0
Nun weist du bereits, das deine Funktion einen Extremwert an der Stelle x = 0 hat, aber um was für einen Extremwert es sich handelt, ob es sich um einen Tiefpunkt (Minimum) oder um einen Hochpunkt(Maximum) handelt, kannst du damit allein noch nicht beantworten.
Um das zu beantworten, musst du die Werte für die Nullstellen der 1-ten Ableitung deiner Funktion in die 2-te Ableitung einsetzen -->
x = 0 -->
f´´(0) = e ^ (-0) = 1
Ist der Wert von f´´ an einer Nullstelle von f´ kleiner als Null, dann handelt es sich an dieser Stelle um ein Maximum.
Ist der Wert von f´´ an einer Nullstelle von f´ größer als Null, dann handelt es sich an dieser Stelle um ein Minimum.
Ist der Wert f´´ an einer Nullstelle von f´ exakt gleich Null, dann handelt es sich nicht um ein Minimum und auch nicht um ein Maximum, sondern um einen sogenannten Sattelpunkt.
Da bei deiner Funktion f´´(0) = 1 ist und 1 > 0 ist, handelt es sich also um ein Minimum.
Deine Funktion hat also ein Minimum an der Stelle x = 0. .
Sehr schön ... nur gefragt war das nicht (alles).
Zur Löung der Aufgabe ist nicht erforderlich, eine zweite Ableitung zu bestimmen.
Wenn die Tangente waagerecht ist, dann ist die Steigung der Tangenten gleich 0.
Insbesondere ist die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle dann auch gleich 0.
D.h. du setzt f '(x) = 0, also 1 - e^(-x) = 0 und löst es nach x auf... Wie habt ihr denn bisher sonst die Extrema ermittelt? Immer nur mithilfe des Graphen?
Da laut Aufgabenstellung nicht unterschieden werden soll, ob die Stelle(n) mit waagrechter Tangente Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt sind, ist ausreichend, die Nulltelle(n) der Ableitung zu bestimmen (siehe Rapzoooor).
f'(x) = 1 - e^(-x) = 0 lässt isch weiter umformen:
1 = e^(-x) ; | ln
0 = ln(1) = -x,
Also ist (0 | f(0) ) = (0 | 1) der einzige Punkt der Funktion mit horizontaler Tangente.
Du hast bestimmt die funktion falsch abgeschrieben.
Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen
Vielen, Vielen Dank!!!