Hilfe bei Rotationsvolumen?
Hallo, bin gerade am Mathe lernen und brauche Hilfe bei einer Aufgabe für das Rotationsvolumen bzw Integral
Funktion: y=2/9x^2-2
Es geht um ein Drehparaboloid um die y-Achse. Masse Durchmesser unten 6 cm Durchmesser oben 12 cm Höhe 6 cm
Die Aufgabe:
Wie hoch steht die Flüssigkeit wenn 200ml Flüssigkeit eingefüllt werden?
Wäre super wenn jemand helfen könnte.
Verwende übrigens einen Ti-nspire cx
LG Daniel
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
da der Körper um die y-Achse rotieren soll, mußt Du erst einmal die Umkehrfunktion bilden, damit Du ihn um die x-Achse rotieren lassen kannst, denn nur dann gilt die Formel für das Rotationsvolumen V=π*∫[f(x)]²dx.
Du mußt also y=(2/9)x²-2 nach x auflösen und dann x und y vertauschen.
y+2=(2/9)x²
(9/2)y+9=x²
y=√[(9/2)x+9]
y=√[(9/2)x+9]=3√[(1/2)x+1)]
Um das Rotationsvolumen zu berechnen, bildest Du das Integral dieser Funktion zum Quadrat, also von 9*[(1/2)x+1] und multiplizierst mit π; die 9 kannst Du als Faktor vor das Integral stellen:
9π*∫[(1/2)x+1]dx
Das ergibt F(x)=9π*(0,25x²+x)+C
Nun brauchst Du die Integrationsgrenzen. Die oberste mußt Du noch ermitteln, die untere ist die Nullstelle der Umkehrfunktion.
3√[(1/2)x+1)]=0, das ist bei x=-2 der Fall
Du ziehst also F(-2) von F(x) ab und setzt die Differenz auf 200 ml, das Volumen der Flüssigkeit, wobei x dann die gesuchte Füllhöhe ist:
9π*(0,25x²+x)-9π*(1-2)=200
Du kannst zunächst durch 9π teilen:
0,25x²+x+1=200/(9π)
Nun bringst Du 200/(9π)=7,073553026 auf die andere Seite und löst die quadratische Gleichung:
0,25x²+x-6,073553026=0
Als positive Lösung (die negative ist unbrauchbar) bekommst Du 3,319230405 heraus.
Da der Boden des Rotationskörpers bei -2 liegt, mußt Du noch 2 cm addieren, um die Füllhöhe zu ermitteln, also etwa 5,32 cm
Herzliche Grüße,
Willy
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
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Ich habe etwas übersehen:
Als untere Integrationsgrenze mußt Du die Null nehmen, weil das Gefäß bei einem Durchmesser von 6 cm, also einem Radius von 3 cm anfängt.
Das ist bei x=0 der Fall, denn dann wird f(x)=3.
Du bildest also die Gleichung 0,25x²+x-0=200/9π=7,073553026
Dann ist x=3,682799671, also eine Füllhöhe von etwa 3,7 cm
![](https://images.gutefrage.net/media/user/GoldmanSachs1/1464307988929_nmmslarge__0_254_1997_1997_36bae51a54f456d7d306c112af821da4.jpg?v=1464307991000)
du musst die funktion ableiten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Die Ableitung liefert Dir lediglich die Steigung.
Hier geht es um die Berechnung eines Rotationsvolumens - dazu brauchst Du die Integration.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Jamesboond/1463853286698_nmmslarge__102_0_427_427_40032a6a7c536725982409c18f40137c.jpg?v=1463853287000)
Jo denke auch ableiten geh mal in den umwandler von Google.
Super Danke!! In der Schule wurde es uns nur mit dem Taschenrechner erklärt und ich verwende einen anderen :)