Extremwertproblem in Mathe

Hallo, ich habe eine Frage zu einem Extremwertproblem Die Aufgabe lautet: Es sollen zylindrische Kochtöpfe einfachster Bauart mit 2l Volumen hergestellt werden. Wie sind Durchmesser und Höhe dieser Töpfe zu wählen, wenn die Länge der gesamten Schweißnaht(Umfang+höhe), die am Boden und längs einer Mantellinie verläuft, möglichst kurz werden soll?

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

[leiermann]

Hallo MulticisuM,
Volumen V = 2l = π/4 ⋅ D^2 ⋅ H
Länge L = π ⋅ D + H soll Minimum werden, d.h. L ist nach D oder H abzuleiten. Ich leite nach D ab und muss zuerst mit der Volumenformel H eliminieren:
H = 8 / (π ⋅ D^2)
L = π ⋅ D + 8 / (π ⋅ D^2)
dL/dD = π - 16 / (π ⋅ D^3) = 0
Die Nullstellenberechnung ergibt: D = ∛(16 / π^2) = 1.1747 dm = 11.7474 cm ; H = 0.018 cm
Die Probe ergibt tatsächlich ein Volumen von 2 dm^3 bei diesem sehr sehr niedrigen Topf. Ob es sich um Maximum oder Minimum handelt prüft man mit der 2. Ableitung;
d^2L/dD^2 (D=11.7474) = 48 / (π ⋅ D^4) ≻ 0 also Minimum
Gruß von leiermann

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[leiermann]

Hallo,
leider habe ich mich wegen den unterschiedlichen Dimensionen verrechnet. Jetzt also die richtige Lösung durch Berechnung in cm^3 und cm:
V = 2000 cm^3 = π/4 ⋅ D^2 ⋅ H
L = w.o. ; H = 8000 / (π ⋅ D^2)
L = π ⋅ D + 8000 / (π ⋅ D^2)
dL/dD = π - 16000 / (π ⋅ D^3) = 0
D = ∛(16000 / π^2) = 11.7474 cm
H = 18.4527 cm
Gruß von leiermann

Answer 2

[Ellejolka]

Volumenformel=2 und nach h umstellen;

dann einsetzen in S=2 pi r + h einsetzen und S ableiten und =0 und r berechnen.

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[MulticisuM]

Ok ich bin mittlerweile bis zu meiner Zielfunktion gekommen:

M(r) = 2 pi r 2000 / 2 pi r² -----> 2000/r

ist das soweit richtig?

Answer 3

[Ellejolka]

V=pi r² h =2 → h = 2/(pi r²) einsetzen in S=2 pi r + h

S=2 pi r + 2 /(pi•r²) ableiten;

ich weiß nicht , was du gemacht hast.