Hilfe bei Kurvenanpassung?
Hallo liebe GuteFrage.net-Gemeinde,
ich habe bei der folgenden Aufgabe ein Problem. Wir sollen bei dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion erstellen mit Hilfe der angegebenen Punkten.
Mein Ansatz ist wie folgt:
ax^4+bx^2+c ist die Funktion die man braucht.
Ich denke mal, dass der Punkt A ein Punkt auf einer Tangente ist und der Punkt E ein Hochpunkt. Mehr weiß ich leider nicht so wirklich. Vielleicht kann einer von euch mir helfen.
4 Antworten
ich habe die Punkte
-6 0
0 1.5
3 1
gewählt und das erhalten :
y = 0.000514403 * x^4 - 0.0601852 x^2 + 1.5
mit H ( 4 / 0.6 ) statt G ( 3 / 1 ) erhalte ich das :
a = 0.000729167, b = -0.0679167, c = 1.5
wegen des waagrechten Verlaufs bei A und I wäre eine Kurve , die die x-Achse als Asymptote hat gar nicht schlecht
( ax4 + bx2 + c ) / ( ax4 + ex2 + f ) wäre so eine.
Also irgendwie hilft mir wolfram nicht weiter. Ich weiß nicht genau was du da eingegeben hast. Weißt du wie man das schriftlich rechnet?
Wir sehen hier 3 Extrema (3 Buckel).
Das ist dann eine ganzrationale Funktion 4.ten Grades
Außerdem liegt der Graph symetrisch zur y-Achse
Bedingung für Achssymetrie f(x)=f(-x)
also f(x)=a4*x⁴+a2*x²+ao mit ao=1,5 mit Punkt E(0/1,5)
1) f´(x)=0=4*a4*x³+2*a2*x aus A(-6/0) ist ein Minimum
2) f(x)=1=a4*x⁴+a2*x²+1,5 aus Punkt C(-3/1)
Ergebnis mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
y=f(x)=8,818*10^(-4)*x⁴-0,0643*x²+1,5 haut aber nicht genau hin.
Dann muß man eine ganzrationale Funktion 8.ten Grades versuchen.
y=f(x)=a8*x⁸+a6*x⁶+a4*x⁴+a2*x²+1,5
ableiten f´(x)=0=.... Minimum bei A(-6/0) und die Punkte einsetzen
ergibt ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit 4 Unbekannte,a8,a6,a4 und a2 und 4 Gleichungen.
Das müßte dann hinhauen.
Das LGS mit dem Graphikrechner lösen !
Hab ich mal mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) durchgerechnet.
f(x)=a8*x⁸+a6*x⁶+a4*x⁴+a2*x²+1,5 die 1,5 aus E(0/1,5)
f´(x)=0=8*a8*x⁷+6*a6*x⁵+4*a4*x³+2*a2*x bei I(6/0) Steigung f´(6)=m=0
Dieser Graph liegt achssymetrisch zur y-Achse
Ergibt ein LGS mit 4 Unbekannte,a8,a6,a4 und a2 und 4 Gleichungen
1) f(-4)=0,6-1,5=.... mit B(-4/0,6)
2) f(-3)=1-1,5=... mit C(-3/1)
3) f(-1,5)=1,3-1,5=..... mit D(-1,5/1,3)
4) f´(6)=0=..... mit I(6/0) f´(6)=m=0
Lösung mit meinem GTR
y=f(x)=-1,925*10^(-7)*x⁸+2,5*10^(-5)*x⁶-6,1428*105*x⁴-0,05688*x²+1,5
Stimmt bis auf Rundungsfehler.
Wegen der Symetrie kannst du auch die Punkte F(1,5/1,3) und G(3/1) und H(4/0,6) verwenden.
dein Ansatz ist richtig: ganzrationale Funktion vierten Grades symmetrisch zur y-Achse, daher nur gerade Hochzahlen von x und die Konstante
in A, E und I hat man eine waagrechte Tangente, also erste Ableitung der Funktion ist an den Stellen null. Der Punkt I bringt hier aber nichts, da die Funktion achsensymmetrisch ist und I der zu A symmetrische Punkt ist
du hast drei Unbekannte, also benötigt man drei Gleichungen
f'(-6)=0
f'(0)=0
f(0)=1,5
f(-6)=0
das sollte ausreichen
Da 9 Punkte angegeben sind, wovon vier wegen der Achsensymmetrie redundant sind, würde ich eine achsensymmetrische Funktion vom Grad 8 ansetzen:
f(x)=ax^8+bx^6+cx^4+dx^2+1,5
das ist auch eine Möglichkeit
aufwändiger, aber die Kurve geht dann auch tatsächlich durch alle Punkte
die Funktion 4. Grades dürfte aber auch eine gute Näherung sein, müsste man mal ausprobieren und mit den restlichen Punkte die Punktprobe machen und schauen wie genau die Kurve ist
laut Aufgabenstellung läuft die Gaube in Punkt A (also bei -6) waagrecht aus, dort gibt es also eine waagrechte Tangente, im Bild tatsächlich nicht gut erkennbar, dass die Kurve dort waagrecht verlaufen soll
3 Gleichungen hab ich auch raus aber warum ist f‘(0)=0. Ich hätte da noch ein Frage: Wenn ich jetzt z.B. Die Gleichungen in die Funktion einsetzte, kommen bei mir riesige Zahlen raus... ist das richtig?
komme ich nicht weiter ? Glg mit 0 sind eher praktisch :))
wenn f ( -6 ) = 0 , dann gilt eben a * 6^4 + b * 6^2 + c = 0 ( ist doch egal ,ob rechts nun 0 steht oder 15 oder 4 , oder ?
und
bei
f ( 0 ) = 1.5
erhält man sofort c = 1.5 ( das war mit praktischgemeint )
Wie hast du den Wert für a = 0.0006 rausbekommen? Wenn du vielleicht gerade etwas Zeit hättest und mir das vielleicht etwas detaillierter beschreiben könntest wäre ich dir sehr dankbar!