Hausaufgabe in Mathe?

Ich habe eine Frage zu einer Teilaufgabe in Mathe. Man soll die Tiefe berechnen, in welcher die momentane Änderungsrate der Beleuchtungsstärke -10Lux pro Meter beträgt.

Die Augangsfunktion lautet B(x)= 4000×0,8^x

Ich weiß, dass man die erste Ableitung dieser Funktion -10 setzten muss. Aber irgendwie ist passt meine Ableitung nicht und das Ergebnis kann Dementsprechend nicht passen.

Answer 1

[SeifenkistenBOB]

Die Ableitungsregel

$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)\ =\ n\cdot x^{n-1}$ gilt nur für Potenzfunktionen.

Die Funktion 0,8^x ist eine Exponentialfunktion. Hier bietet es sich an, die Funktion als Exponentialfunktion zur Basis e (Eulersche Zahl) zu schreiben, da sich die e-Funktion leicht ableiten lässt.

Du weißt ja sicherlich, dass folgende Gleichheiten gelten:

$e^{\ln\left(a\right)}=a$ $\ln\left(a^t\right)\ =\ t\cdot\ln\left(a\right)$

Damit kannst du deine Funktion umschreiben zu:

$B\left(x\right)\ =\ 4000\cdot0,8^x\ =\ 4000\cdot e^{\ln\left(0,8^x\right)}$ $=\ 4000\cdot e^{x\cdot\ln\left(0,8\right)}$

Da die 4000 eine Konstante ist, kannst du sie von deiner Ableitungsoperation "ausschließen". (Das lässt sich aus der Produktregel lesen. Eine Konstante abgeleitet ergibt null, weshalb nur der erste Term (4000*d/dx (exp(...)) stehen bleibt.)
Das heißt, du musst jetzt nur noch die Ableitung von e^(x*ln(0,8)) berechnen.

In der äquivalenten Schreibweise

$\exp\left(x\cdot\ln\left(0,8\right)\right)\ =\ e^{x\cdot\ln\left(0,8\right)}$ wird evtl. besser ersichtlich, dass hier die Kettenregel angewandt werden muss. Also innere Ableitung multipliziert mit der äußeren Ableitung.

Innere Ableitung:
Der ln(0,8) ist eine Konstante und x abgeleitet ergibt 1. Also ist das Ergebnis der inneren Ableitung ln(0,8).

Äußere Ableitung:
Die Ableitung von exp(x) ist wieder exp(x), also ändert sich hier nichts. Aber wir können unsere Darstellung wieder vereinfachen zu:
$e^{x\cdot\ln\left(0,8\right)}=\left(e^{\ln\left(0,8\right)}\right)^{^x}\ =\ 0,8^x$

Jetzt nur noch beides zusammenführen und deine 4000 nicht vergessen:

$\frac{d}{dx}\left(4000\cdot0,8^x\right)=4000\cdot\ln\left(0,8\right)\cdot0,8^x$

Answer 2

[Wechselfreund]

Schau dir die Ableitung von a^x an. Was hast du als Ableitungsfunktion?