Hat ein Quadrat immer den größten Flächeninhalt?
Wenn man einen beliebigen Umfang gegeben hat und man soll den maximalen Flächeninhalt bestimmen, den man mit diesem Umfang bilden kann, ist dann das Quadrat immer die Lösung?
2 Antworten
Ja. Und der Beweis sieht wie folgt aus:
Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b hat den Umfang U=2a+2b und den Flächeninhalt A=ab. Möchte man eine der Variablen a und b loswerden, formt man eine der Formeln zu einer der Variablen um, um sie in die andere einzusetzen. Da man die maximale Fläche herausfinden will, formt man die andere Formel, die des Umfangs zu einer der Variablen um. Zu welcher, ist dabei egal; ich habe mich für b entschieden:
U=2a+2b [-2a] U-2a=2b [:2] (U/2)-a=b
Dann setzt man b in die Formel für die Fläche ein (wie schon gesagt: um am Ende nur eine Variable, a, in der Formel für die Fläche zu haben):
A=a*((U/2)-a)=(U/2)a-a^2
Um den Wert von a zu finden, für den A am größten ist, leitet man A nach a ab und berechnet von der Ableitung die Nullstellen:
A(a)=-a^2+(U/2)a => A'(a)=-2a+(U/2)
A'(a)=0 <=> 0=-2a+(U/2) [+2a] 2a=(U/2) [:2] a=(U/4)
Damit der Flächeninhalt A am größten ist, muss als die Seitenlänge a ein Viertel des Umfangs betragen.
Eigentlich kann man daraus schon folgern, dass die Fläche mit a=(U/4) ein Quadrat sein muss, man kann das aber auch rechnerisch nachweisen, indem man den errechneten Wert von a in die Formel des Umfangs einsetzt und diese zu der Länge der anderen Seite des Rechtecks, b, umformt:
U=2*(U/4)+2b [vereinfachen] U=(U/2)+2b [-(U/2)] (U/2)=2b [:2] (U/4)=b
Schaut man sich nun die Längen der beiden Seiten, a und b, an – a=(U/4) und b=(U/4) –, sieht man, dass diese gleich sind. Und bei welcher Form haben alle Seiten dieselbe Länge? Bei einem Quadrat.
achso ja, ich meinte bei vierecken..............
Ja , ist so . Wenn es ein Rechteck ist das Viereck , dann kann man es leicht mit Oberstufenmathematik zeigen.
Wie es bei allgemeinen Vierecken ginge , weiß ich nicht . Aber es dürfte auch da das Quadrat sein .
So wie die Kugel bei gegebener Oberfläche das größte Volumen hat