Halbwertszeit Aufgabe Mathe?
Auf dem Bild sieht man die Aufgabe.. Ich hab mir jetzt schon viel über Halbwertszeit usw durchgelesen, verstehe es aber immer noch nicht so wirklich :( Würde mich freuen wenn mir jemand das erklären kann und auch b und c mit einbezieht, weil da ist meine Vorstellungskraft echt zu Ende...
Danke und LG
5 Antworten
a) N(t) = 3 • 0,5^(t/5,27) mit Wertetabelle zeichnen
b) N(t) = 3 • 0,5^(1/5,27) ausrechnen ; N(t) • 100 / 3
c)0,03 = 3 • 0,5^(t/5,27) mit log das t berechnen.
t = 35
Die Menge nimmt exponentiell ab. Nach einer Halbwertzeit ist noch die Hälfte vorhanden.
y(t) = y_0 exp(-t/t_h)
"radioaktiver Zerfall" Formel ist N(t)=No*e^(-b*t)
mit No=3mg und Halbwertszeit T=5,27 Jahre
nun b=Zerfallskonstante ausrechnen
N(5,27)=No/2 ergibt
No/2=No*e^(-b*T)
1/2=e^(-b*T) logarithmiert
ln(o,5)=-b*T
b=ln(0,5)/-5,27=0,1315...
Formel also N(t)=3mg*e^(-0,1315*t)
Diesen Graph kannst du nun aufzeichen
b) hier ist t=1 Jahr
N(1)=3mg*e^(-0,1315*1)=2,189..mg
1%=3mg/100%
N(1) in %=2,189mg/3mg*100%=72,7%
c) N(1%)=3mg/100%=0,03mg
0,03=3*e^(-0,1315*t)
0,03/3=e^(-0,1315*t) logarithmiert
ln(0,03/3)=-0,1315*t
t=ln(0,03/3)/(-0,1315)=35,02..Jahre
Prüfe auf Rechen-u. Tippfehler
Es sind eine Reihe von Wachstumsgleichungen im Schwang. Ich werde versuchen, es dir mal mit einer besonders einfachen klarzumachen.
y = c * aⁿ
y = Endwert ..... c = Anfangswert ...... n = Anzahl der Perioden (meist Jahre)
Für den Wachstumsfaktor kannst du Zahlen einsetzen. Meist ist es aber prozentual angegeben mit p als Prozentsatz. Das ist in unserem Dezimalsystem jedoch bequem. a = 1 + p/100
p = 3 % ..... => ...... a = 1,03 ................. p = 25 % ....... => .... a = 1,25
Beim Zerfall musst du a = 1 - p/100 rechnen:
p = 3% .... => ........ a = 0,97
Man kann ganz smpiel herangehen. Halbwertszeit heißt: es ist nur noch die Hälfte der Ausgangsmenge da. Dann steht in der Formel da oben:
1,5 mg = 3 mg * a^5,27
Besser anders herum, also Seiten vertauschen:
3 * a^5,27 = 1,5 | /3
a^5,27 = 0,5 | √
a = 0,5^(1/5,27) | dein Taschenrechner kann das
a = 0,8767
Jetzt muss man aufpassen!
Zerfall ist negatives Wachstum. Daher musst du hier 1-p/100 rechnen:
1 - 0,8767 = 0,1233 oder 12,33 % Abnahme.
Mit diesem a kannst du alles rechnen. Machen wir doch mal die Probe:
3 * 0,9767^5,27 ≈ 1,5 tatsächlich nur noch die Hälfte übrig
Damit bekommst du auch alle anderen Werte.
Das war die Erklärung der Halbwertszeit. Wenn du noch Probleme hast, schreib einen Kommentar.
a)
Die Menge ist
m(t) = 3 * (1/2)^t
Dabei ist t in Einheiten von 5,27 Jahren.