Gruppentafel konstruieren, triviales Ergebnis?
Das ist die Aufgabenstellung:
Das habe ich bis jetzt:
Doch ist es richtig das alle Buchstaben am ende zu 1 werden? e muss bezüglich der Gruppenoperation Multiplikation 1 sein, da es sich um eine Zyklische Gruppe handelt bekomme ich das halt raus.
Oder eventuell mit komplexen Zahlen? Dann einfach jedes mal 1/5 rum bis ich wieder auf meiner reellen Zahlenebene ankomme.
2 Antworten
Doch ist es richtig das alle Buchstaben am ende zu 1 werden?
Nein, das ist nicht richtig.
e muss bezüglich der Gruppenoperation Multiplikation 1 sein
Das ist richtig.
da es sich um eine Zyklische Gruppe handelt bekomme ich das halt raus.
Das es sich um eine zyklische Gruppe handelt bedeutet lediglich, dass wenn du einen Mulitplikationszyklus, also eine mehrfache Multiplikation, auf ein Gruppenelement a anwendest irgendwann immer 1, also das neutrale Element, heraus kommt. Das Ursprungselement a muß aber nicht 1 sein. Setze a = 2, ..., d = 5 und schaue was heraus kommt.
Auf 8 und 16 komme ich durch Anwendung meiner Definition im Skript: https://ibb.co/ZGk139 wenn mein Startelement a=2 ist, dann c=a^3= 8 und d=a^4=16
https://i.postimg.cc/d1cNMgTr/20220714-163836.jpg der vorherige Link funktionierte nicht
Oder eventuell mit komplexen Zahlen?
Jop. Definier a als ne primitive 5-te Einheitswurzel und staune ;)
Mich hat jetzt die Antwort deines Vorgängers etwas verwirrt: " Setze a = 2, ..., d = 5 und schaue was heraus kommt." Das würde doch garnicht funktionieren oder irre ich mich da?
Zumindest nicht, wenn man die gewöhnliche Multiplikation verwenden möchte. Du kannst natürlich auf {1,2,3,4,5} eine "Multiplikation" definieren, die deiner Gruppentafel entspricht.
Danke! Dann denke ich wäre die Multiplikation von komplexen Zahlen noch am einfachsten, also hier jetzt zum Beispiel mit dem Startelement a=e^(2kpi i /5) mit k=1, .., 4
a=e^(2kpi i /5) mit k=1, .., 4
Ja, aber für die Aufgabe solltest du dich auf ein k festlegen, um a zu definieren ;) Welches der 4 möglichen k's du nimmst, ist dabei ziemlich egal.
Dann wäre das ja: e=1, a=2, a^2=b=4, a^3=a*b=c=8, a^4=c*a=d=16 und jetzt komme ich natürlich mit a^5 nicht wieder zurück auf e und wenn ich diese Elemente miteinander verknüpfe verletze ich die Abgeschlossenheit meiner Gruppe. Das einzige was ich mir hier vorstellen könnte wäre mit komplexen zahlen zu arbeiten und jedesmal um 1/5 um den Kreis zu gehen, bis ich wieder bei e, meiner reellen Zahlenebene angekommen bin.