GInt es unstetige Funktionen, deren Stammfunktionen differenzierbar sind? (Mathematik)

surbahar53

23.12.2016, 08:08

In dem bereits genannten Mathe-Thread wird folgendes Problem behandelt

Die Funktion

h(x) = x^2*sin(1/x) für x != 0

h(x) = 0 für x = 0

ist auf ganz R differenzierbar und auch stetig (auch bei x = 0 !).

Die Ableitung

h'(x) = 2*x*sin(1/x)-cos(1/x)

ist aber bei x = 0 nicht differenzierbar, also nicht stetig.

Der Streit, der sich an diesem Beispiel entzündet, ist folgender. Könnte man zusätzlich

h'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) für x != 0
h'(x)=0 für x = 0

definieren, wäre die Welt wieder in Ordnung.

Aber das geben die Regeln der Ableitung nicht her, ausserdem hat die Funktion h(x) bei x=0 ein definiertes Limit (nämlich 0), die Ableitung h'(x) dagegen hat bei x=0 nicht mal ein definiertes Limit.

Insofern würde ich Deine Frage mit einem klaren JA beantworten.

Schilduin

23.12.2016, 09:13

Ich sehe gerade nicht, warum die Ableitung für x=0 nicht definiert sein sollte... Berechnet man h'(0) mit der h-Methode (ich nenne das ganze im Folgenden besser k), so ergibt sich lim (k->0) (h(0+k)-h(0))/k=lim (k->0) k^2*sin(1/k)/k=lim (k->0) k*sin(1/k)=0. Dennoch ist die Ableitung in x=0 nicht stetig (man berechnet den Grenzwert für x->0, der nun mal nicht existiert. Wenn er existieren würde und 0 wäre, dann wäre die Welt in Ordnung), so weit stimmt das also.

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surbahar53

23.12.2016, 11:22

@Schilduin

Ein Funktion f(x) ist genau dann in x0 stetig, wenn für jede Folge gilt:

xn -> x0, n -> unendlich

f(xn)-> f(x0), n -> unendlich

Findet man Nullfolgen, für die das nicht gilt, dann ist die Funktion in x0 unstetig.

Nullfolge 1: xn = 1/(2n*pi)
lim[n -> unendlich] [ 2*xn *·sin( 1/xn ) - cos( 1/xn ) ] = 0 - 1 = -1

Nullfolge 2: yn = 1/(2(n+1)*pi)
lim[n -> unendlich] [ 2*yn *·sin( 1/yn ) - cos( 1/yn ) ] = 0 - (-1) = +1

h'(x) ist bei x=0 nicht stetig, also nicht differenzierbar.

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