Gewichtete Euklidische Norm?

Hallo!

Es ist gegeben:

$\omega:\ \left(a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}_{\ge0}\ ist\ stetigt\ und\ integrierbar\$

und der Raum der stetigen Funktionen auf [a,b] C([a,b]) ist ausgestattet mit

$\mid\mid\cdot\mid\mid_{\omega}=\left(\cdot,\cdot\right)_{\omega}^{\frac{1}{2}}\ mit\ \left(f,g\right)_{\omega}=\int_a^{^b}f\left(x\right)g\left(x\right)\omega\left(x\right)dx$

Jetzt habe ich ein Polynom p und ich will mir die Norm von p anschauen. Ich bin mir aber nicht ganz sicher wie... Beim Skalarprodukt sind es zwei Argumente und bei der Norm eins.

Ist es

$\mid\mid p\mid\mid_{\omega}\ =\sqrt{\left(\int_b^{^a}p\left(x\right)\omega\left(x\right)dx\right)}$ oder

$\mid\mid p\mid\mid_{\omega}=\sqrt{\int_b^{^a}p\left(x\right)^2\omega\left(x\right)dx}$ ?

Genauso wüsste ich gerne was passiert wenn da steht: ||p||^2

Ist es dann das Skalarprodukt mit sich selber?

Danke und LG Max Stuthmann

Answer 1

[DerRoll]

Das zweite ist richtig. Denn du nimmst das Skalarprodukt mit zweimal dem selben Argument und ziehst daraus die Wurzel. D.h. du mußt eben auch zwei mal das Argument (in diesem Fall p(x)) einsetzen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[xam193]

Danke!!

Answer 2

[canapril]

Das zweite oder? Weil dieser "Punkt" quasi zweimal durch p(x) ersetzt wird, womit das Ergebnis p(x)^2 enthalten müsste, auch wenn es unter der Wurzel steht,

Comments

[xam193]

Ja klingt gut. ich habe auch eher an das gedacht, aber so 100%ig sicher bin ich mir eben nicht :D

[canapril]

@xam193

Dann rechne es für beide Möglichkeiten aus, und wenn dann dein Prof/Tutor mein, dass sei Falsch, dann sagst du "Das war nur ein Witz, die richtige Lösung hol ich gleich raus" und holst dann den zweiten Weg raus oder wenn dus abgeben musst, dann machst du dir ne zweite Identität, lässt dich immatrikulieren und gibst beide Lösungen ab.

[xam193]

@canapril

hahaha gute Idee eigentlich! Nur leider muss ich damit eine Behauptung beweisen, was bestimmt nicht geht mit der Falschen Möglichkeit und ich muss meine Ergebnisse 3 Tage vorher Hochladen :(