Gerade verschieben damit tangente entsteht?
Hallo:) Ich muss eeine Gerade (y=2x+1) so verschieben (in y) damit sie eine Tangente an der Parabel (y=0.5x^2+x-0.5) wird... Wer kann mit helfen? Besten Dank!
4 Antworten
Erinnern wir uns:
Eine Sekante einer Kurve hat mit dieser Kurve 2 Punkte gemeinsam
Eine Tangente einer Kurve hat mit dieser Kurve 1 Punkt gemeinsam
Eine Passante einer Kurve hat mit dieser Kurve keinen Punkt gemeinsam
(Bei komplizierteren Kurven kann es noch mehr Schnittpunkte geben - aber die lassen wir jetzt mal außen vor)
Nennen wir die Verschiebung in y-Richtung "a".
Die Gleichung der verschobenen Geraden ist damit
y = 2 x + 1 + a
Berechnen wir die Schnittpunkte der verschobenen Geraden mit der Parabel:
y = 1/2 x^2 + x - 1/2
y = 2 x + 1 + a
Einsetzen von y aus einer der Gleichungen in die andere (oder Gleichsetzen, oder Subtrahieren der Gleichungen etc.)
1/2 x^2 + x - 1/2 = 2 x + 1 + a
(mehrere Umformungen, davon eine quadratische Ergänzung)
(x-1)^2 = 2 a + 4
Die "Diskriminante" dieser Gleichung ist (2 a + 4)
Wenn die Diskriminante > 0 ist, gibt es zwei Lösungen.
Wenn die Diskriminante = 0 ist, gibt es eine Lösung.
Wenn die Diskriminante < 0 ist, gibt es keine Lösung.
Damit können wir aus der Diskriminante bestimmen, ob die gerade eine Sekante, Tangente oder Passante der Parabel ist.
Der Rest sollte klar sein.
Die Ableitung einer Kurve ist die Steigung ihrer Tangente in diesem Punkt. Es soll also y' = 2 sein.
y = 0.5x^2 + x - 0.5
y' = x + 1
Daher x + 1 = 2
x = 1
Im Punkt mit x = 1 hat die Kurve eine Tangente mit Steigung 2.
Um die Tangente zu beschreiben, brauchen wir noch das y des Berührpunktes. Dafür müssen wir x in die Originalfunktion y einsetzen:
y = 1 (Tag der einfachen Werte)
Die Steigung soll ja 2 sein. Und die Geradengleichung ist
y = mx + b mit m als Steigung (Das ist nicht immer dasselbe y!)
Ich setze den Berührpunkt ein, weil der ja auch auf der Tangente liegen muss:
1 = 2 * 1 + b
b = -1
Zusammengesetzt:
y = 2x - 1 muss die Gleichung der Tangente sein.
Die Gerade hat die Steigung 2. Jetzt brauchst Du nur auszurechnen, an welchem Punkt die Parabel die Steigung 2 hat. Diesen Punkt setzt Du dann in y=2x+b ein und rechnest den "neuen" y-Achsenabschnitt b der Geraden aus.
Zu lösen mit dem Mittelwertsatz (gerade ist Sehne durch die Parabel und deren Grenzwert zu x0!
Andere möglichkeit: Mit y = 2x + a und gleichsetzen mit Parabel zur pq-Formel und entstehenden Wurzelwert = 0 setzen und a ausrechnen! (Im Berührungspunkt ist eine Doppelnullstelle und die Wurzel = 0! )
Der Mittelwertsatz macht nur eine Existenzaussage, liefert aber keinen Beitrag zur Berechnung.
Vermutlich Mittelstufe - da sind Ableitungen noch unbekannt.