Geometrische Reihe 1/2?

habe folgende Reihe:

0,5; 0,75; 0,875: 0,9375; ...
Wie komme ich von irgendeinem Wert dieser Reihe in den darunterliegenden oder darüberliegenden, bzw. wie findet man das Glied dieser Zahlenfolge heraus?
Danke für Deine Antwort im Voraus (-:

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[michiwien22]

Hier ist unklar was du meinst: Folge oder Reihe?

Sollen die Folgenglider aufsummiert werden, oder geht es dir darum wie man von 0.75 auf 0.875 kommt usw ?

[googolcraft]

wie kommt man in Excel zB. von 0,875 auf 0,75 bzw. auf den Wert darunter 0,9375?

Answer 1

[michiwien22]

Eine Reihe ist die Summe einer Folge. Was hast du hier hingeschrieben?

Die Folge der Partialsummen?

Eine Reihe ist immer eine Summe über die Glieder einer Folge; eine Folge ist eine Abfolge von Zahlenwerten.

Deine Folge konvergiert gegen 1.

Ich gehe davon aus, dass du mit "Reihe" meinst:

$0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+\ \ldots\ =\ \sum_{_{k=1}}^{\infty}0.5^k\ =\ 1$

Was du angegeben hast wäre die Folge der Partialsummen dieser Reihe, d.h. die jeweiligen Summen, wenn man immer ein Glied mehr dazunimmt:

$0.5,\ \ 0.5+0.5^2,\ \ \ 0.5+\ 0.5^2+\ 0.5^3\ ,\ \ldots$

Die Bildungsvorschift für Deine Folge a1, a2, a3, a4, ... ist somit:

$a_n\ =\ a_{n-1}+0.5^n$

für n>1, mit

$a_1=\ 0.5$

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[googolcraft]

wie funktioniert das ganze in Excel - wenn ich den Wert 0,99609375 gegen habe und die Folge darüber 0,9921875 bzw. den Wert danach 0,99804675 erfrage?

Answer 2

[michiwien22]

>wie kommt man in Excel zB. von 0,875 auf 0,75 bzw. auf den Wert darunter 0,9375?

Hab ich ja unten geschrieben...

$\ 0.75+0.5^3=0.875$ $0.9375\ =\ 0.875+0.5^4$

usw.

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[googolcraft]

ich habe n nicht gegeben - nur a(n) - wie finde ich das Glied n dabei heraus?

[michiwien22]

@googolcraft

Dann ist klarerweise

a(n) = 1-(1/2)^n

und n=-log(1-a(n))/log(2)

[michiwien22]

@michiwien22

Wir hätten uns viel Zeit erspart, wenn du deine Frage gleich ordentlich formuliert hättest.

Answer 3

[Mathetrainer]

So:

$a_{n+1}=0,5\cdot\left(a_n-a_{n-1}\right)+a_n$ mit

$a_0=0,5$

Answer 4

[Willy1729]

Hallo,

die einzelnen Glieder der Reihe sind 1/2; 3/4; 7/8 usw.

Das kannst Du auch als (2^n-1)/2^n schreiben, wobei Du schon einmal die Formel für Folgenglied an hast.

Um den Summenwert der Reihe zu bestimmen, teilst Du den Bruch in 2^n/2^n-1/2^n auf.

2^n/2^n=1. Die Summe von k=1 bis k=n über 1 ist einfach n.

Die Summe von k=1 bis k=n ist 1/2+1/4+1/8+...+1/2^n. Dafür gibt es die Summenformel sn=(2^n-1)/2^n.

Die Summenformel für die komplette Reihe lautet daher sn=n-(2^n-1)/2^n.

Herzliche Grüße,

Willy

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[michiwien22]

>die einzelnen Glieder der Reihe sind 1/2; 3/4; 7/8 usw.

Sprechen wir jetzt von einer Folge oder Reihe?

Ich bin nun komplett verwirrt, denn eine Reihe mit diesen Folgengliedern wäre ja nicht konvergent. Der Fragesteller spricht aber von einer geometrischen Reihe mit q=1/2. Ich interpretiere seine Zahlenfolge als die Folge der Partialsummen von

s(n) = 0.5 +0.5²+0.5³+...

Diese Folge konvergiert gegen 1 und die Partialsummenfolge ist 1/2; 3/4; 7/8...

[Willy1729]

@michiwien22

Es geht um die Reihe 1/2+3/4+7/8+...+(2^n-1)/2^n. Allerdings hat sich der FS sehr unklar ausgedrückt, denn erst im weiteren Verlauf der Frage spricht er davon, daß es sich wohl bei den angeführten Zahlen um die ersten Glieder einer Folge handelt.

Ansonsten hättest Du natürlich recht, wenn es Partialsummen sein sollten.

[michiwien22]

@Willy1729

>Es geht um die Reihe 1/2+3/4+7/8+...

dann hätte man das aber auch so notieren müssen...Wenn man es als Partialsummenfolge interpretiert wäre das nämlich tatsächlich die geometrische Reihe für q=1/2, welche auch konvergiert.

[googolcraft]

@michiwien22

0,75=((2^n)-1)/2^n ... wie forme ich das auf n um?