Gehört Wurzel aus 3 zu den rationalen Zahlen?
5 Antworten
Zu den Reellen Zahlen auf jeden Fall, deine Frage zielt darauf, ob es zu den rationalen Zahlen gehört oder ?
Nein, Wurzel 3 ist eine irrationale Zahl.
Wenn du das Nachvollziehen willst, musst du beweisen, dass es keine Lösung für Wurzel3 = x/y gibt.
Ich habe einfach mal einen Beweis dazu gemacht, weil es mich in den Fingern gejuckt hat, vielleicht kannst du den gebrauchen.
Wurzel3 = x/y |^2
3 = x^2/y^2
3y^2 = x^2 ---------> x ist also durch 3 teilbar, weil die Potenz von x durch 3 Teilbar ist, deshalb lässt sich x Aufteilen in 3 Drittel, die wir einfach mal d nennen.
3y^2 = (3d)^2
3y^2 = 9d^2
y^2 = 3d^2 -------> Also ist auch y durch 3 teilbar, das ist ein Widerspruch, weil es bedeutet, dass der Bruch noch zu kürzen wäre. Da unsere Grundannahme aber ist, dass der Bruch schon gekürzt ist, ist damit bewiesen, dass es keinen Ganzzahligen Bruch gibt der Wurzel 3 beschreibt.
Und was wäre hätten wir nicht die Grundannahme genommen das sqrt(3) in der Darstellung x/y vollständig gekürzt ist? Wäre dann der Beweis etwa ungültig? So implizierst Du es. Der Widerspruch entsteht nicht aus der Annahme, sondern daraus das gezeigt ist: wenn sqrt(3) eine rationale Zahl x/y ist, sind x und y nicht teilerfremd. Solch eine rationale Zahl existiert allerdings nicht, und daher kann sqrt(3) keine rationale Zahl sein.
Ich gebe zu, dass meine Argumentation hinkt oder zumindest falsch formuliert ist. Auch wenn der mathematische Beweis, bei hinreichend formulierter Argumentation stimmt.
Jedoch stimmt ihre Argumentation auch nur mit einem weiteren Beweis.
Es gibt nämlich sehr wohl Zahlen, welche rational sind und durch einen nicht teilerfremden Bruch dargestellt werden können, nämlich die ganzen Zahlen (außer 0)
Demnach müsste man dann auch noch den Beweis erbringen, dass Wurzel 3 keine ganze Zahl ist, was allerdings nicht schwierig sein dürfte.
Logisch. Wurzel 3 ist (gerundet) 1.732, also wo ist das Problem?
Gruß
Henzy
Ja, so ist es. Allgemeiner gehören alle Wurzeln aus nichtnegativen Zahlen zu den reellen Zahlen.
Ja, es ist eine reelle, aber keine rationale Zahl
Hallo,
du meinst rationale Zahlen, habe deine Frage daher angepasst.
Rationale zahlen sind alle Zahlen, die du als Bruch darstellen kannst.
0,2 ist z.B. eine rationale Zahl, weil du 0,2 auch als Bruch, nämlich 1/5 darstellen kannst.
Die Wurzel aus 3 ist gerundet 1,732. Dies kann man nicht als Bruch darstellen, daher ist Wurzel 3 keine rationale Zahl.
Jede ganze Zahl ist im übrigen eine rationale Zahl, da du alle ganze Zahlen als Bruch darstellen kannst.
Z.B. kannst du 2 auch als 4/2 schreiben.
LG
0,2 ist keine rationale Zahl.
Q = { p/q: p,q ∈ Z ∧ q ≠ 0}
0,2 erfüllt gewiss nicht die Voraussetzung.
0,2 wäre die Dezimaldarstellung der rationalen Zahl 1/4.
Und natürlich kann man 1,732 als rationale Zahl darstellen!
Bei 0,2 liegst du falsch.
Es handelt sich hier um ein gerundeten Wert, Wurzel 3 ist nicht rational. Dummer Zufall, dass der von mir gerundete Wert wiederrum als Bruch darstellbar ist ;-)
Stimmt. Ich habe mich nochmal eben nachgelesen, rein nach der Definition her sind auch Zahlen mit endlichen/periodischen Nachkommastellen rationale Zahlen.
Jede Zahl mit endlichen/periodischen Nachkommastellen kann als Bruch dargestellt werden, also von Zufall kann man kaum sprechen.
ja