Wurzel 5 eine Rationale Zahl?
Ist Wurzel Fünf eine Rationale Zahl. Sie ist glaube ich eine reele Zahl, aber keine Rationale Zahl oder? :)
3 Antworten
Hallo,
Die Wurzel aus 5 ist nicht rational. Beweis folgt.
Die Wurzel aus 5 ist wie folgt definiert:
(√5)² = 5
Wenn die Wurzel aus 5 rational wäre, dann wäre sie - und auch ihr Quadrat - als Bruch zweier GANZER Zahlen darstellbar:
(?/?)² = 5
Wir nehmen an, der Bruch - nennen wir ihn p/q - sei vollständig gekürzt. Das heißt, p und q sind teilerfremd. Sie besitzen also keinen gemeinsamen Teiler.
Das ersetzen wir also und haben folgende Gleichung:
(p/q)² = 5
Die Klammer lösen wir nun auf, damit wir q² auf die andere Seite bringen können:
p²/q² = 5
p² = 5q²
=> 5 ist ein Teiler von p²!
Daraus folgt, dass 5 auch ein Teiler von p sein muss! Wenn du nämlich eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegst und diese quadrierst (also die Zahl), kommen keine neuen Primfaktoren hinzu. Beispiel:
6 = 2 * 3
6² = 2² * 3² = 4 * 9 = 36
Stimmt doch, oder? Im Anhang ist ein Video beigefügt, in dem das erklärt wird.
Nun ist also p = 5 * ?; dieses Fragezeichen nennen wir mal a, woraus folgt p = 5.
Diese 5a setzen wir jetzt für p ein:
(5a)² = 5q
25a² = 5q
5a² = q²
=> 5 ist ein Teiler von q², also auch von q - das hatten wir ja oben schon mal mit p.
Da ergibt sich ein Widerspruch! Wenn nämlich die Zahl eine Rationale wäre, so hätte der Bruch p/q keinen gemeinsamen Teiler. Laut Beweisführung ist aber ein er vorhanden, nämlich die 5. Daraus folgt, dass die Wurzel aus 5 irrational sein muss!
Wir beginnen wie oben - √5 = p/q
Also ist 5 = p²/q²
Soweit klar. Nun ist ja auch p²/q² ein vollständig gekürzter Bruch, und 5 kann man als 5/1 darstellen. Soweit klar?
Also folgt daraus p²/q² = 5/1
Zwei Brüche sind ja genau dann gleich, wenn Zähler und Nenner gleich sind. Daraus folgt, dass p² = 5 sein musste, und das ist mit rationalen Zahlen nicht machbar.
Das war jetzt ein kürzerer Beweis, um zu zeigen, dass die Wurzel aus 5 irrational ist. Reell ist sie aber trotzdem. Komplexe Zahlen würden auftreten, wenn du z.B. √(-5) hättest.
Ich hoffe, dass meine Erklärungen verständlich waren :)
LG ShD
Wurzel 5 kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden, daher ist es eine reelle, aber keine rationale Zahl.
das stimmt, sie ist nicht rational.
Kleine Anmerkung zum zweiten Beweis:
Das müsste denke ich "ganze Zahlen" heißen, sonst wäre es ja nur eine Umformulierung der zu beweisenden Aussage.