Wann liegen drei Vektoren in einer Ebene?
Moin, die Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen:
Also die Lösung ist, die Koordinatenform zu nehmen (ax+by+cz=0) und ein GLS aufzustellen mit den drei Punkten.
Aber prinzipiell kann ich doch alles für x einsetzten, solange die Punkte nicht kollineare sind oder? Sie bilden dann immer eine Ebene. Ich denke eher das ich etwas an der Formulierung "in einer Ebene liegen" falsch verstehe...
4 Antworten
Also ich hätte da einen anderen Ansatz. Ausgangspunkt der Überlegung ist der, dass der Normalenvektor der Ebene, die b und c aufspannen linear abhängig sein muss vom Normalenvektor der Ebene, die a und b aufspannen, damit sie in dieselbe Richtung zeigen.
Der Normalenvektor der Ebene bc errechnet sich aus dem Kreuzprodukt von b und c:
b x c = (14/10/-13)
Der Normalenvektor der Ebene ab berechnet sich zu:
a x b = (2x + 8 / -2 / 8 + x)
Nun soll gelten:
(14/10/-13) = s * (2x + 8 / -2 / 8 + x) (lineare Abhängigkeit)
Draus leiten sich zwei Gleichungen ab, in denen x und s vorkommmt:
14 = s(2x + 8)
s = 14 / (2x + 8)
-13 = s(8 + x)
s = -13 / (8 + x)
Da ja s = s sein muss, folgt daraus:
14 / (2x + 8) = -13 / (8 + x)
14(8 + x) = -13(2x + 8)
zusammengefasst und sortiert:
40x = -216
x = -216 / 40
mit 8 gekürzt:
x = -27/5
Es gibt 2 Möglichkeiten, die hier mit x bezeichnete y-Koordinate des a_Vektors so zu bestimmen, dass die 3 Vektoren komplanar sind, also in einer Ebene liegen: x mittels LGS bestimmen oder x so bestimmen, dass die Determinante Null ergibt. x = -27 / 5 passt.
Aber wieso sollte a nicht in einer Ebene mit b & c liegen, wenn x != -27/5 ist? Die Ebene wird doch erst durch a bestimmt, vorher stellen b & c eine Gerade dar!
Du hast was falsch verstanden. Du sollst nicht schauen, ob die drei "Punkte" eine Ebene Bilden, sondern ob die drei Vektoren auf einer Ebene liegen, aka Komplanar.
Du kannst es dir so vorstellen, dass der Ursprung der "Aufpunkt" ist, und die drei anderen Vektoren die "Richtungsvektoren". b und f sind ja offensichtlich linear unabhängig, das bedeutet sie Spannen schon eine Eben auf. Du musst also nun prüfen, für welche x der Vektor a in dieser Ebene liegt.
Das kannst du zum Beispiel prüfen, indem du schaust, für welche x das LGS a=d*b+e*c lösbar ist (d und e sind reelle Zahlen)
mit der ersten und der dritten Zeile kann man d und e bestimmen (2 Gleichungen und 2 Variablen). Dann kann man in der 2. Zeile x durch einsetzen bestimmen
Das mit dem Normalenvektor geht theoretisch auch
Die Vektoren b und c sind schon vorgegeben. Da sie offensichtlich linear unabhängig sind, spannen sie eine Ebene auf. Du musst das x jetzt so wählen, dass a auch in dieser Ebene liegt.
Ich hätte das ganze über den Normalvektor der Ebene gemacht. Wenn das Skalarprodukt von a und dem Normalvektor Null ergibt, stehen die beiden senkrecht aufeinander und a liegt in der Ebene.
Wäre das LGS nicht etwas zu kompliziert? Ich würde einfach über den Normalvektor der Ebene gehen.