Funktionsterm bestimmten?
Ich schreibe morgen eine Mathe Klausur und bin gerade am verzweifeln. Ich kann alles außer diese blöden Steckbriefaufgaben:
z.B. Bestimmten Sie den Funktionsterm dritten gerades deren Grad die x-Achse bei 1 schneidet, im Punkt (-2/3) ein Extremum und bei x= 0 einen Wendepunkt hat.
Ich habe jetzt schonmal f(-2) = 3 f(1) = 0
Wie kann ich mir jetzt die letzten beiden Gleichungen fürs LGS herleiten? Bitte um SCHNELLE Hilfe!
Danke im Voraus
6 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maarduck/1568019378064_nmmslarge__0_0_1024_1024_3ee6d102f9fff3b8eb89a9336cca61ab.jpg?v=1568019378000)
y = ax³ + bx² + cx + d nach Voraussetzung
>die x-Achse bei 1 schneidet => 0 = a * (1)^3 + b * (1)^2 ... + d
(I) 0 = a + b + c + d
>im Punkt (-2/3) ein Extremum
(II) 3 = -8a + 4b -2c + d
y´ = 3ax² + 2bx + c und (III) 0 = 12a -4b + c
>bei x= 0 einen Wendepunkt hat
y´´ = 6ax + 2b und (IV) 0 = 2b => b=0
in (I) einsetzen und nach d auflösen d = -a-c
in (II) einsetzen 3 = -8a -2c -a-c = -9a -3c => 1 = -3a -c
mit (III) 0 = 12a +c nach c auflösen => c = -12a
1 = -3a + 12a = 9a
a = 1/9
c = -12/9 = -4/3
d = -1/9 + 12/9 = 11/9
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das mit dem Extremum heißt nicht nur dass f(-2)=3 sondern auch dass
f'(-2)=0 ist (ist die hinreichende Bedingung von einem Extremum)
Der Wendepunkt bei x=0 heißt dass dort f''(x)=0 gilt (ist die bedingung für Wendepunkt).
Von daher musste noch die ersten 2 Ableitungen für die allgemeine Form rausfinden und dann Alles einsetzen.
Gibt dir 4 Gleichungen mit 4 unbekannten.
Musste dann lösen.
Ist übrigens nur ein Gleichungssystem kein LGS da Potenzen größer 1 vorkommen und damit nicht "linear". :-)
Denk also immer dran:
Ist ein Extremum oder so gegeben, kriegste damit nicht nur infos über den Punkt dort dondern auch Infos über die 1. oder 2. Ableitung an dem Punkt.
Übersoeht man schnell :-D
![](https://images.gutefrage.net/media/user/FelixFoxx/1444749287_nmmslarge.jpg?v=1444749287000)
Funktion dritten Grades: f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
Graph schneidet die x-Achse in x=1 (f(1)=0): a+b+c+d=0
Extremum in (-2/3)(f(-2)=3 und f'(-2)=0):
-8a+4b-2c+d=3
12a-4b+c=0
Wendepunkt in x=0 (f"(0)=0): 2b=0
Aus diesen 4 Gleichungen kann man jetzt a,b,c und d bestimmen und damit die Funktionsgleichung.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Einfach die allgemeine Darstellung einer Funktion dritten Grades aufstellen, zweimal ableiten und die Gleichungen aus der obigen Angabe aufstellen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/4ssec67/1444749716_nmmslarge.jpg?v=1444749716000)
Du brauchst noch die ableitungen, also die Steigung an den jeweiligen Punkten