Funktionssynthese?

Hallo Leute,

ich brauche Hilfe bei diese Aufgabe.
Der Graph einer ganzrationalen 3. Grades berührt die x-Achse an der Stelle 4 und hat in W(2/3) einen Wendepunkt. Funktionsterm bestimmen.

Answer 1

[Willibergi]

Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, d.h. die Funktionsgleichung hat diese Form:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Jetzt geht es darum, die Informationen der Aufgabenstellung in Mathematik zu übersetzen.

Der Graph berührt die x-Achse an der Stelle x = 4 bedeutet, dass bei x = 4 eine Nullstelle liegt, das heißt:

$f(4) = 0$

Dass er die x-Achse nur berührt, also nicht schneidet, bedeutet, dass dort ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, das heißt:

$f'(4) = 0$

Zudem hat der Graph bei W(2 | 3) einen Wendepunkt, das heißt:

$f''(2) = 0$

Zudem verläuft der Graph offensichtlich durch (2 | 3), wenn dort ein Wendepunkt liegt, das heißt:

$f(2) = 3$

Damit haben wir vier Gleichungen und können ein Gleichungssystem aufstellen. Dazu berechnen wir zunächst die erste und zweite Ableitung:

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ $f''(x) = 6ax + 2b$

Nun setzen wir die Gleichungen in f bzw. f' bzw. f'' ein:

$f(4) = 0 \rightarrow 64a + 16b + 4c + d = 0$ $f'(4) = 0 \rightarrow 48a + 8b + c = 0$ $f''(2) = 0 \rightarrow 12a + 2b = 0$ $f(2) = 3 \rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 3$

Es gilt also jetzt nur noch, das Gleichungssystem

$\begin{dcases} 64a + 16b + 4c + d = 0 \\ 48a + 8b + c = 0 \\ 12a + 2b = 0 \\ 8a + 4b + 2c + d = 3\end{dcases}$

zu lösen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Comments

[Faris634]

Ich danke dir, aber ich kann bei der Additionsverfahren irgendwie nicht weiter machen🫤

[Willibergi]

@Faris634

Du kannst deine Frage mit einem Foto ergänzen, dann schaue ich gerne drüber.

[Faris634]

@Willibergi

Ich kann kein Bild hinzufügen:(

aber ich kann keine Additionsverfahren verwenden, weil mich die Reihenfolge irgendwie verwirrt.
also ich muss erstmal d weg machen, aber d ist bei der I und bei IV.
und soweit ich das weiß man fängt von der I und II an. Erstmal multiplizieren und dann mit einander addieren. Usw….

Answer 2

[Strafe06533]

Hey,

Ich kann dir gerne dabei helfen, die Funktion zu finden. Da die Funktion den Graphen der x-Achse bei x = 4 berührt, muss es sich um eine doppelte Nullstelle handeln. Das bedeutet, dass der Funktionsterm der Form f(x) = a(x-4)^2(x-b) sein muss, wobei b die dritte Nullstelle der Funktion ist. 

Da die Funktion einen Wendepunkt in W(2/3) hat, muss die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null sein. Wir können dies nutzen, um eine Gleichung zu finden, die a und b beinhaltet. 

f(x) = a(x-4)^2(x-b) 

f''(x) = 6a(x-b) 

f''(2/3) = 6a(2/3 - b) = 0 

Daraus folgt, dass b = 2/3. 

Um den Wert von a zu finden, können wir die Tatsache nutzen, dass der Graph der Funktion die x-Achse bei x = 4 berührt. 

f(4) = 0 

a(4-4)^2(4-2/3) = 0 

Daraus folgt, dass a = 0. 

Dies bedeutet, dass die Funktion f(x) = 0(x-4)^2(x-2/3) = 0 ist. 

Also ist der Funktionsterm f(x) = 0.