Funktionsscharen Wendepunkte bestimmen?
Hallo,
Ich habe Schwierigkeiten bei der Aufgabe 4. Kann mir jemand behilflich sein?
Danke
3 Antworten
f _ k (x) = - x ^ 4 + 3 * x ^ 3 - 6 * k * x + k
Nun musst du die 1-te, 2-te und 3-te Ableitung bilden -->
f´ _ k (x) = - 4 * x ^ 3 + 9 * x ^ 2 - 6 * k
f´´_ k (x) = -12 * x ^ 2 + 18 * x
f´´´ _ k (x) = -24 * x + 18
Wendepunkte liegen vor, wenn sind Nullstellen von f´´ _ k (x) für die gleichzeitig gilt, dass f´´´ _ k (x) an diesen Nullstellen ungleich Null ist !
f´´_ k (x) = -12 * x ^ 2 + 18 * x
-12 * x ^ 2 + 18 * x = 0 | : -12
x ^ 2 - (3 / 2) * x = 0
Hier kann man x ausklammern, deswegen ist eine Nullstelle bei x _ 1 = 0
x ^ 2 - (3 / 2) * x = x * (x - (3 / 2))
Ein Produkt ist Null, wenn einer der Terme Null ist.
Die andere Nullstelle findet man durch -->
x - (3 / 2) = 0
x _ 2 = 3 / 2
Nun musst du beide Nullstellen in f´´´ _ k (x) einsetzen -->
f´´´ _ k (x) = -24 * x + 18
f´´´ _ k (0) = -24 * 0 + 18 = 18
Das ist ungleich Null, deswegen ist an der Stelle x = 0 ein Wendepunkt.
f´´´ _ k (3 / 2) = -24 * (3 / 2) + 18 = -36 + 18 = -18
Das ist ebenfalls ungleich Null, deswegen ist an der Stelle x = 3 / 2 ebenfalls ein Wendepunkt.
Damit hast du aber erst den x-Anteil der Wendepunkte, zu einem vollen Punkt gehört zusätzlich noch der y - Anteil.
Deshalb musst du noch x _ 1 = 0 und x _ 2 = 3 / 2 in f _ k (x) einsetzen.
f _ k (0) = - 0 ^ 4 + 3 * 0 ^ 3 - 6 * k * 0 + k = k
Erster Wendepunkt W (0 | k)
f _ k (3 / 2) = - (3 / 2) ^ 4 + 3 * (3 / 2) ^ 3 - 6 * k * (3 / 2) + k = - (81 / 16) + (81 / 8) - 9 * k + k = 81 / 16 - 8 * k
Zweiter Wendepunkt W (3 / 2 | 81 / 16 - 8 * k)
Erst einmal hat ein Polynom 4. Grades immer 2 Wendepunkte (siehe Zeichnung).
Zum Bestimmen dieser leitest du die Funktion ab, suchst die Nullstellen der Ableitung und erstellst dann eine Tabelle, die dir den Verlauf der Ableitung vor und nach der Nullstelle der Ableitung zeigt (ist eine Methode, die ich jetzt mal empfehlen würde). Wenn der Graph also vorher fällt und danach steigt, dann hast du einen Tiefpunkt gefunden :)
"... ein Polynom 4. Grades immer 2 Wendepunkte..."
Da stimmt so allgemein nicht. Eine Funktion 4. Grades hat maximal
zwei Wendepunkte. Z.B. f(x) = x^4 hat gar keine Wendestelle.
2. Ableitung =0
x1=0 und x2=3/2
Als Ableitung habe ich nun: f'k(x) = -4x^3+9x^2-6k , richtig?