Fragen zum Satz des Pythagoras?
Also ich bin in der 9. Klasse eines bayrischen Gymnasiums und unsere zweite Schulaufgabe, also ein großer Leistungsnachweis, besteht darin ein Portfolio zu erstellen. (Über mehrere Wochen) Ein Thema ist Satz des Pythagoras. Weil ich echt schlecht in Mathe bin möchte ich mir hier eine gute Note einheimsen Haha.
Also meine erste Frage wäre: Was ist die Definition vom Satz des Pythagoras?
2.Frage: Beweis des Satz Pythagoras und mindestens zwei Zusammenhänge.
Falls es jemand beantwortet, macht das bitte in eigenen Worten weil sonst könnte ich auch googeln und dann könnte mein Lehrer die Antworten im Internet finden und wüsste das ich gegoogelt hätte.
Riesen dank an alle antowrten ihr rettet meine Mathe Note! (Nur weil ich hier nach Lösungen frage, bedeutete das nicht das ich nicht auch versuchen werde es selbst zu lernen außerhalb des Portfolios, das ist nur für eine gute Note)
4 Antworten
1) Definition: Beziehung zwischen den Seitenquadraten im rechtwinkligen Dreieck (oder meinst du die Formulierung?)
"Quadrat von Kathete_1 plus Quadrat von Kathete_2 ist Quadrat von Hypotenuse"
Die übliche Formulierung "a² + b² = c²" funktioniert nur, wenn a und b die Katheten und c die Hypotenuse ist (manche Lehrbücher stellen Aufgaben, die die Seiten anders benennen, um zu testen, ob man dies verstanden hat)
2) Was meinst du mit Zusammenhängen?
Zusammenhängende Sätze: das wären v. A. "Kathetensatz" und "Höhensatz". Ein Beweis des Satzes des Pythagoras beweist sogar erst den Kathetensatz und daraus dann den Satz des Pythagoras.
Wenn du einen Beweis einigermaßen verstanden hast, kannst du z. B. schreiben:
Erst einmal zeichnen wir das Dreieck mit den Ecken A, B und C. Die Seiten nennen wir wie üblich: "a" gegenüber von "A", ... c ist die längste Seite, also die Hypotenuse.
Dann zeichnen wir die Höhe ein, und zwar die auf die Hypotenuse.
...
Beispiel:
Wenn ihr ähnliche Figuren so weit behandelt habt, dass ihr folgendes wisst:
Wenn entsprechende Längen/Strecken das Verhältnis k haben, dann haben entsprechende Flächen das Verhältnis k²
dann kann man auch mit ähnlichen Dreiecken argumentieren:
Die Höhe teilt das Dreieck in zwei Teildreiecke. Jedes Teildreieck ist ähnlich zum ursprünglichen Dreieck, denn es stimmen je 3 Winkel überein: der rechte Winkel, der Winkel in A und B und der 3. Winkel, weil die Winkelsumme immer 180° ist.
Die Hypotenuse des Ausgangsdreiecks D ist c. Die Hypotenuse des einen Dreiecks D1 ist a. Die Hypotenuse des anderen Dreiecks D2 ist b.
Nennen wir das Verhältnis von a zu c "r" und das Verhältnis von b zu c "s":
Dann ist a = r * c, b = s * c
und a² = r² * c² und b² = s² * c²
Was wir über die Flächenverhältnisse wissen, daraus folgt:
Fläche(D1) = r² * Fläche(D) und Fläche(D2) = s² * Fläche(D)
Da sich D1 und D2 zu D zusammensetzen, ist auch
Fläche(D1) + Fläche(D2) = Fläche(D)
Das Ganze muss man jetzt noch so zusammenfassen, dass am Ende
a² + b² = c²
übrig bleibt.
-----
Was die "eigenen Worte" betrifft: gutefrage.net hat einen sehr hohen Rang bei Google, d. h. neue Beiträge hier tauchen regelmäßig innerhalb von Stunden unter den ersten 10 Suchergebnissen von Google auf.
Die Regel, dass beim Rechteck das Quadrat der Diagonale gleich der Summe aus den Quadraten der beiden Seiten ist, war schon lange vorher bekannt, z.B. den Babyloniern und den Ägyptern.
Nach Pythagoras ist der Satz deswegen benannt, weil er ihn als erster streng förmlich bewiesen hat. Und das war deswegen wichtig: mit dem Satz des Pythagoras angewandt auf ein Einheitsquadrat findet man, dass die Länge der Diagonale - die ist Wurzel(2) - nicht durch einen Bruch dargestellt werden kann, und darum inkommensurabel ist (auch irrationale Zahl genannt wird). Diese Existenz von inkommensurablen Größen war aber philosophisch sehr wichtig für die Pythagoräer (und wurde von diesen streng geheim gehalten), weil man vorher geglaubt hatte dass man alle Zahlen durch Brüche darstellen könnte, bzw. sogar durch ganze Zahlen über einem gemeinsamen Nenner für alles. Das würde dann aber bedeuten, dass das Universum endlich ist und sich der Zeitablauf nach einer gewissen Periode exakt wiederholen muss, und das hatte man damals fest geglaubt. Durch den Beweis der Existenz irrationaler Zahlen war das aber nun wiederlegt.
a²+b²=c² - der Satz des Pythagoras.
Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her: Die Summe der quadrierten Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c). Die Formel a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 a2+b2=c2 gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn c die Hypotenuse ist!
Die Summe der Kathetenquadrate entspricht dem Hypotenusenquadrat.
Beweis würde ich mir aus dem Net holen. Das ist halt so, wie es ist.
...in einem rechtwinkligen Dreieck...