Flugzeugbahnen mit Vektoren?
Hallo! Ich schreibe morgen eine Matheklausur und bekomm es einfach nicht hin. Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich bekomm einfach nicht das richtige raus...
Aufgabe und Lösungen als Anhang
Also falls jemand Aufgabe 1 lösen könnte wäre ich sehr dankbar
3 Antworten
Das ist auf GF leider etwas blöd zu schreiben ^^
Du musst dir zuerst den Geschwindigkeitsvektor berechnen also:
v1 = B-A
v2 = D-C
jetzt kannst du die Bewegungsgleichungen der Flugzeuge aufstellen:
x1 = v1*t + A
x2 = v2*t + C
Aufgabe a:
Wenn du da jetzt für t = 0 einsetzt und rechnest ||x2-x1|| dann erhältst du die Entfernung zum Beginn.
Wenn du für t = 20 einsetzt kommt die Entfernung für 20 Sekunden flugdauer raus.
Zum lösen von Aufgabe b:
musst du einfach nur die Gleichungen gleich setzen:
v1*t+A = v2*t + C
Weil das Vektoren sind hast du jetzt ein Lineares Gleichungssystem 3ter Ordnung also:
v11*t+A1 = v21*t + C1
v12*t + A2 = v22*t + C2
v13*t + A3 = v23*t + C2
die 1 2 und 3 am Schluss sind immer die jeweilige Komponenten des Vektors.
Wenn das Gleichungsystem jetzt genau eine Lösung hat dann schneiden sich die Flugbahnen und die Lösung ist der Schnittpunkt.
Aufgabe c:
im Prinzip geht es hier nur um die Höhe, der Ort ist egal von da her interessiert uns nur die 3te Komponente eines jeden Vektors.
Lösen kannst du das so:
v13*t + A3 = 9000 =>
t = (9000-A3)/v13
Nach dieser Zeit sieht man Flugzeug Nummer 1 am Himmel,genauer währe natürlich diese Rechnung:
v13*t + A3 <= 9000 weil die Funktion aber linear ist macht das hier keinen Unterschied.
Flugzeug 2 lässt sich genau so berechnen.
Also um die Entfernung der beiden Flugzeuge zu berechnen musst du erst den Vektor AC berechen (also also Vektor geschrieben (305/0.5/14300)-(365/2/11000)=(-60/-1.5/3300).
Dann davon den Betrag nehmen also Wurzen von ((-60²+(-1.5)²+3300²), das Ergebnis dürfte die Entfernung sein.
Nach 20 Sekunden funktioniert das ganze genau gleich, jedoch musst du erst feststellen wo die Flugzeuge nach 20 sek sind (Den Ortsvektor nenne ich mal OZ). Das kannst du ganz einfach in dem du eine Geradengleichung aufstellst, also g: x=OA+t*AB ( (365/2/11000)+t*(-169/-7/-80) ), oder, um den Punkt zu finden-> OZ=OA+20*AB
Das selbe dann nochmal mit Punkt C und D und die beiden Punkte bzw. Ortsvektoren (also OZ und den den du jetzt neu berechnest) nehmen und "durch ein Vektor verbinden" und von dem Vektor dann wieder den Betrag.
Bei der b) verwendest du die beiden aufgestellten Geradengleichungen und suchst den Schnittpunkt, da geb ich dir einfach mal den Link (http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/schnittpunkt-zweier-geraden.html)
Bei der c) musst du einfach für beide Geraden rausfinden, wie lang diese bis zum Schnittpunkt brauchen, also mit meiner oben aufgestellten Geraden t rausfinden. Wenn bei beiden t (oder wie du die Variable genannt hast) identisch sind, dann kollidieren sie.
Bei d) nimmst du einfach die x3 Koordinaten der Gerade und setzt sie mit 9000 gleich. Also 11000+t*(-80)=9000 --> t*(-80)=-2000 ---> t=25, das mit der anderen Geraden auch noch und dann vergleichen.
Wenn ich Fehler drin habe, dann bitte korrigieren. Kann gut möglich sein.
Um die Vektorfunktion rauszubekommen, musst du zuerst den Vektor zwischen Anfang und Ende berechnen (siehe Bild).
Mit dem zweiten Flugzeug kannst du das gleiche machen. Dann hast du zwei Formeln, in die du für die b) gleichsetzen kannst. Für a) setzt du "20" für X ein, dann hast du den Punkt, an dem die Flugzeuge nach 20 Sekunden sind.
Die Entfernungen sollten kein Problem sein, dafür musst du einfach den zweiten Punkt minus den ersten rechnen und dann davon den Betrag ausrechnen.
Bei der c) prüfst du, ob der Faktor X für die beiden Gleichungen der selbe ist.
Für die d) benutzt rechnest du einfach für beide Flugzeuge den Faktor X aus.
Vielen Dank! Das komische ist nur, dass bei mir das lgs keine Lösung hat wenn ich das in den taschenrechner eingebe🙈