Fakultät mit 5 Endnullen?
Hallo, ich soll beweisen das es Keine Fakultät mit 5 Endnullen gibt. Ich weis das 24! 4 Endnullen und 25! 6 Endnullen hat, aber ich denke das ich bei dem Beweis auch eine Erklärung brauche warum das so ist. Vielleicht hat jemand einer von euch eine Idee dazu.
Liebe Grüße
4 Antworten
Das ist doch eigentlich schon der Beweis. Wenn man eine natürliche Zahl mit X Nullen am Ende mit einer anderen natürlichen Zahl multipliziert, können nicht weniger als X Nullen am Ende dabei heraus kommen. Du bist aber schon bei 6 Nullen und der direkte Vorgänger hat 4.
"Endnullen" erhältst du wenn du mit dem Primzahlenpaar 2 und 5 (also gesamt dann 10) multiplizierst.
Folgende Zahlen von 1-24 haben die Primfaktoren 5:
5, 10, 15, 20 -> 4 Stück. Da es mehr als 4 gerade Zahlen gibt, ergeben sich 4 Endnullen.
die 25 hat nun 2 mal die 5 als Primfaktoren -> es kommt zu zusätzlichen 2 Endnullen.
Alle weiteren Fakultäten haben also mindesten 6 5en als Primfaktoren, daher haben alle mehr als 5 Nullen.
25! ist durch 10^6 teilbar. Da n! für n > 25 ein Vielfaches von 25! ist, ist damit auch n! durch 10^6 teilbar, hat also mindestens 6 Endnullen.
Sei nun k < 24. Wäre k! durch 10^5 teilbar, so wäre auch 24! mit derselben Argumentation wie oben durch 10^5 teilbar, was aber nicht der Fall ist, da 24! nur 4 Endnullen hat. Damit hat k! auch höchstens 4 Endnullen.
Also gibt es keine natürliche Zahl, deren Fakultät exakt 5 Endnullen hat.
Irgendwie so:
24! (mit 4 Endnullen) müsste ja mit 10 multipliziert werden für 5 Endnullen, wird aber mit 25 multipliziert, also geht nur Sprung zu 6 Endnullen!
Korrekte Formulierung wäre übrigens gewesen "mit genau 5 Endnullen"!
Bzw. mit einer Zahl, die genau einmal durch 5 teilbar ist / den Primfaktor 5 genau einmal enthält