Extrema mehrere Variablen - Alle Extremstellen finden?
Mal ne schnelle Frage an die Mathe-Experten. Ich muss in folgender Aufgabe alle Extremstellen finden:
Hab also den Gradienten gebildet und dann das Gleichungssystem nach 0 aufgelöst:
Bekomme also die drei Stellen raus. In der Lösung kommen jedoch 4 mögliche Stellen raus, also die die ich habe und noch [2,0].
Ich hab leider keine Ahnung wie ich auf die letzte Stelle kommen soll. Außerdem frage ich mich, ob es eine Möglichkeit gibt zu prüfen, ob ich alle Lösungen des Gleichungssystems gefunden habe.
Würde mich über jeden Ansatz und Tipp freuen. Danke im Voraus
3 Antworten
Zwar wurde der fehlende Fall schon genannt, ich schreibe meine Fallunterscheidungen trotzdem noch einmal hin, um das Vorgehen deutlich zu machen:
f(x,y) = 3 x y^2 + 4 x^3 - 3 y^2 - 12 x^2 + 1
f_x(x,y) = 3 y^2 + 12 x^2 - 24 x
f_y(x,y) = 6 x y - 6 y
(In der Literatur ist es üblich, bei "partiellen Ableitungen" diejenige Variable, nach der abgeleitet wird, als Index zu schreiben und den Strich wegzulassen.)
Gradient verschwindet:
f_x(x,y) = 0
UND f_y(x,y) = 0
Die zweite Gleichung ist einfacher, deshalb nehme ich die zuerst:
0 = f_y(x,y) = 6 x y - 6 y = 6 y (x - 1)
<=> y = 0 ODER x = 1
(1) y = 0
0 = f_x(x,y) = 12 x^2 - 24 x = 12 x (x - 2)
x = 0 ODER x = 2
(2) x = 1
0 = f_x(x,y) = 3 y^2 + 12 (1)^2 - 24 (1)
= 3 y^2 - 12 = 3 (y^2 - 4)
y = 2 ODER y = -2
=> Lösungsmenge { (0,0), (2,0), (1,2), (1,-2) }
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Solange wir - wie hier - ganz ℝ² als Definitionsbereich haben, ist grad(f) = (0,0) notwendige Bedingung. Sonst müssen wir die Randpunkte gesondert behandeln.
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Wenn die Nullstellen des Gradienten mit "mögliche Extremstellen" gemeint ist, bist du hier fertig. Sonst müsstest du auch die zweite Ableitung (ist eine Matrix) untersuchen.
Du teilst in (1) durch y. Das geht nur für y≠0. Den Fall y=0 musst Du getrennt untersuchen.
Falls y=0 ist, folgt aus f'x=0:
Dadurch erhältst du die zwei möglichen Punkte: (0,0) und (2,0).