Exponentielle Verteilung Mathe?
Aufgabe:
Ich habe versucht:
XA = gebrauchte Zeit für Alice
XB = gebrauchte Zeit für Bob
XC = gebrauchte Zeit für Charles
CDF:
min(XA, XB) = 1-P(XA > XC) * P(XB > XC)
= 1-(e^-(λt)2) = 1-e^-(2λt)
PDF:
(1-e^-(2λt)') = (2-e^-(2λt)')
1 Antwort
Die Verteilung des Minimums ist exponential mit 2λ.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es am Schalter mit 2 Leuten länger dauert als am anderen ist dann
Integral von t = 0 bis unendlich von 2λ exp(-2λ t) exp(-λ t),
das gibt -2/3 exp(-3λ t) in den genannten Grenzen, also 2/3.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit 1/3.
Das ist aufsummiert Wahrscheinlichkeit, dass "doppelte" Schlange bis t dauert (etwa XA+XC = t; 2λ exp(-2λ t)) und dass die "einfache" Schlange dann noch andauert (etwa XB >= t; exp(-λ t)). (Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit.)
Ist 2λ exp(-2λ t) also die Wahrscheinlichkeit, dass XA+XC fertig sind multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit exp(-λ t), dass XB als letztes fertig ist? oder bedeutet 2λ exp(-2λ t), dass XA+XC oder XB+XC zuerst fertig sind?
Und warum ist Die Verteilung des Minimums exponential mit 2λ, wenn 1/λ gegeben war?
Genauer gesagt ist 2λ exp(-2λ t) die Ws. dass das Minimum in t fertig ist. Wir wissen ja nicht, an welchen Schalter C gegangen ist. Dieses Minimum ist dann mit der "einfachen" Schlange zu vergleichen.
1/λ ist der gegebene Erwartungswert, der Parameter der Verteilung ist dann λ
Eine kurze Frage: bei 2λ exp(-2λ t) exp(-λ t) ist exp(-λ t) dann die erwartete Zeit von XC also Charles oder von den jeweils anderen XA oder XB? Wenn exp(-λ t) = XC ist, warum nimmt man dann nicht die Wahrscheinlichkeit 2/3? Da 2λ exp(-2λ t) exp(-λ t) heist in meinen Augen: minimum von (XA,XB) + XC, also genau das was wir wollen.
exp(-λ t) ist P(XC > t)
Für die gesuchte Ws. hätte ich auch direkt 1 - exp(-λ t), also P(XC <= t) in das Integral einsetzen können, wird aber unübersichtlich.
Kannst du bitte erklären woher du die Gleichung hast und was genau eingesetzt wurde: t = 0 bis unendlich von 2λ exp(-2λ t) exp(-λ t)
Vielen Dank