Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang - Aussage der 1. und 2 Ableitung?
Also ich würde gerne wissen, ob es wahr ist, dass wenn die:
Funktion f(x) die Anzahl von etwas beschreibt
die 1. Ableitung von f(x) die Geschwindigkeit/Wachstumsrate von dieser Anzahl
und die 2. Ableitung von f(x) die Beschleunigung jener Anzahl.
Falls dieser Sachzusammenhang wahr ist, sollte es doch so sein, dass die Stammfunktion einer Funktion, die die Beschleunigung beschreibt, die Geschwindigkeit beschreiben sollte, richtig?
Demnach wäre die Idee:
f(x) gibt die Beschleunigung und
F(x) gibt die Geschwindigkeit von etwas.
Danke an alle Mathefreaks :)
3 Antworten
Ist Standard im Physikstudium:
r(t) (r steht für den Ort) nach der Zeit abgeleitet ergibt v(t), die Geschwindigkeit...Wenn man die Geschwindigkeit dann nochmal nach der Zeit ableitet, erhält man die Beschleunigung a(t)
Zunächst einmal ist der Kerngedanke, den du hast richtig.
Deine Zusammenhänge lassen sich insbesondere dann beobachten, wenn y = f(t) ist. Wenn wir also eine unter der Zeit t variable Größe betrachten. Denn in diesem (zeitlichen) Zusammenhang sind Geschwindigkeit und Wachstumsrate meist gut erklärt. Insbesondere für Weg -> Geschwindigkeit -> Beschleunigung. Denn hier ist das tatsächlich der Zusammenhang dieser Größen in Abhängigkeit der Zeit.
Etwas allgemeiner kann man sagen, dass die erste Ableitung ein Maß dafür liefert, wie stark sich eine Größe y [ = f(x) ] unter dem Einfluss von x verändert. Insbesondere ist in diesem Zusammenhang natürlich interessant, ob dieser "Einfluss" gleichmäßig über x erfolgt, was sich in einer für alle x konstanten Ableitung zeigen würde, oder ob es Grenzen gibt, in denen x unser y beeinflussen kann. Typisch für letzteres sind dann Extremalstellen, die uns aussagen, dass y unter x nicht unbeschränkt wachsen oder fallen kann.
Mit der zweiten Ableitung verhält es sich oft etwas schwieriger einen Bezug zur ursprünglichen Funktion herzustellen. Die Interpretation der Beschleunigung trifft es noch am ehesten. Und im Zusammenhang zur ersten Ableitung kann sie uns viele Informationen liefern: Gibt es einen Punkt ab dem x unser y stärker oder schwächer beeinflusst? Diese Frage zielt schließlich auch auf die Wendepunkt ab.
Ich hoffe, dir zumindest einigermaßen auf deine Frage geantwortet zu haben und möchte damit schließen, dass es natürlich abhängig vom konkret Problem auch noch einige weitere Interpretationen der enstprechenden Größen gibt.
Richtig.
