exponentialfunktionen - Abnahme der Temperatur?
Ich habe folgende Aufgabe; Eine heisse Tasse Kaffee hat 92 Grad und steht in eine Raum, in welchem die Temperatur 20 Grad beträgt. Nach 5 min ist der Kaffee nur noch 76 Grad warm. Nun sollte ich die Funktion aufstellen. Kann mir da jemand helfen?
4 Antworten
Hallo,
es handelt sich um ein beschränktes Wachstum (hier: beschränkte Abnahme).
Die Formel dafür lautet
T=S-(S-T0)*e^(-kt)
T ist die Temperatur nach t Minuten,
S ist die Schranke, die nicht unterschritten wird, also 20°, denn unter diese Temperatur kann die Temperatur des Kaffees nicht absinken; T0 ist die Temperatur zu Beginn, also 92°; t ist die Zeit in Minuten, in der eine bestimmte Temperatur erreicht wird, hier: 76° nach 5 Minuten.
So bekommst Du die Gleichung
76=20-(20-92)*e^(-5k).
Diese Gleichung mußt Du nach k auflösen:
76=20-(-72)*e^(-5k) |-20
56=72*e^(-5k)
56/72=7/9=e^(-5k)
Jetzt logarithmieren:
ln (7/9)=-5k |:(-5)
(-1/5)*ln (7/9)=k=0,05026288566
Die Funktion für die Temperatur nach t Minuten lautet also:
f(t)=20+72*e^(-0,05026288566t)
Herzliche Grüße,
Willy
T = Temperatur
t = Zeit [in min]
Allgemeine Form dieser Exponentialfunktion:
T(t) = a*b^t
(a ist dabei im Allgemeinen der Anfangswert,also die Temperatur zum Zeitpunkt 0)
T(0) = 92 Grad Celsius => a*b^0 = 92 Grad Celsius <=> a = 92 Grad Celsius
T(5 min) = 76 Grad Celsius => (92 Grad)*b^5 = 76 Grad
<=> b^5 = 76/92
<=> b = Fünfte Wurzel aus (76/92)
Damit sind dann a und b berechnet und du kannst damit die Funktionsgleichung aufstellen.
Der Grenzwert deiner Funktion für t gegen unendlich ist aber 0 und nicht 20 Grad, bildet also das Problem nicht korrekt ab. Bin da in meiner Antwort auch zunächst drauf reingefallen.
T((t) = T(0) • a^t.
Nun ist T(0) = 92 und dann mit den ersten Werten T(t) und t einsetzen und damit a ausrechnen. Dann hast du alles .
Kleine Korrektur , es muss natürlich T = 20 + T0 • a^t heißen, da 20 Grad ja die untere Schranke ist.
Schreib hin weil ich den Kaffe getrunken habe fertig deswegen ist die Tasse abgekühlt