Erwartungswert für ein Glücksspielrad rot-schwarz?

1 Antwort

berndao2
06.02.2019, 13:15

Was heißt Alles verloren? wenn du bspw. im 1. Spiel 1 euro gewonnen hast und den im 2. Schritt wieder verloren hast?
Also das Spiel ist rum sobald die Balance auf 0 senkt an irgendeinem Punkt?

Oder er eben 3 Euro Gewinn eingeheimst hat?

Naja, um auf 0 Euro zu kommen gibt es 3 Varianten:
erste runde verlieren:
L-----
insg. 1 EUro gewonnen, 1 Euro verloren.

im 1. Fall ist eigentlich nur die Folge
WL---- zutreffend

2 Euro gewonnen 2 Euro verloren.
im 2. Fall gibts die Möglichkeiten:
WWLL--
also letztlich dass er sich anfangs in den Korridor zwischen 1 und 2 begibt und dort hin und herschwankt bis er nahc oben oder unten ausbricht.

insofern gibts noch für 3 mal gewinnen
WWW---
WWLWW-

im prinzip musst du dir das so vorstellen dass du mit dem 1. schritt den bereich zwischen 1 und 2 betrittst.
und nun entweder zwischen 1 und 2 hin und her wechselst.
oder eben an irgendeinem punkt nahc oben oder unten ausbrichst.
oben aufgelistet sind die fälle wo du irgendwohin ausbrichst bevor die 6 runden rum sind.

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gucken wir nun mal genauer hin:
L----- hat wahrscheinlichkeit 1/2 naheliegenderweise, erwartungswert 1/2*0=0.

insbesondere umfasst er 2^5 fälle (theoretisch. praktisch werden runde 2 bis 6 ja gar nicht mehr gespielt).

WL---- hat WS 1/4, erwartungswert 1/4*0=0.
umfasst 2^4 fälle.

WWLL-- WS 1/16, erwartungswert 1/16*0=0
umfasst 2^2 fälle

www--- WS 1/8, erwartungswert 1/8*3=3/8
2^3 fälle

wwlww- WS 1/32, erwartungswert 1/32*3=3/32
2 fälle

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dann kommen wir zu den fällen, bei denen wir 3 runden durchstehen:
mit gewinn 0 Euro:
wwlwll WS 1/64, EW 1/64*0=0
1 fall
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mit gewinn 1 euro:
das sind alle fälle bei denen wir uns nach der 5. runde bei +2 befinden.
denn im nächsten zug verlieren wir und landen bei 1.

um in 5 schritten bei 2 zu landen muss gelten:
WxxxxL
die 4 schritte in der mitte müssen uns von 1 nach 2 bringen. das ist aber, aufgrund der geraden schrittanzahl, nicht möglich.
ergo es gibt keinen fall wo wir nach 6 runden 1 euro gewinn haben.
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mit 2 euro gewinn:
WWLWLW
da gibt es wenig spielraum, es gibt nur die eine möglichkeit.

WS 1/64, EW 1/64*2=2/64
1 fall

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mit 3 euro gewinn:

WxxxxW
geht nicht da du in 4 schritten von 1 nach 2 gehen müsstest, was unmöglich ist.
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damit sollten alle Fälle abgedeckt sein, falls ich mich nicht irre.
addiere mal die ganzen erwartungswerte zusammen und du solltest das endergebnis kriegen.

ergo:
0+0+0+3/8+3/32+0+2/64
=3*2^3/64+6/64+2/64
=(24+ 6+2)/64

oder anders geschaut:
es gibt insgesamt 2^6 Fälle.
davon sind 2^5+2^4+2^2+2^0 fälle mit Gewinn 0.
2^3+2 fälle haben gewinn 3 euro.
und es gibt einen fall mit gewinn 2 euro.

damit sind alle fälle erwähnt (da 2^6=2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0+1 ist).

insofern ist der erwartungswert
( (2^5+2^4+2^2+2^0)*0 + (2^3+2)*3 + (1)*2 ) / 2^6
ergibt ebenso 32/64.

insofern ist der erwartungswert des ganzen 32/64=1/2.
letztlich nimmst du also im Durchschnitt 50 Cent mit dem Spiel ein :-)

Insofern du Kosten mit ins Boot holen willst, musst du oben von den 0,1,2,3 jeweils noch 1/6 abziehen oder so.