Erwartungswert einer Zufallsgröße berechnen?
Hallo! Ich möchte folgende Aufgabe in Zusammenarbeit mit der Community lösen:
Für einen Einsatz von 8€ darf man an folgendem Spiel teilnehmen. Eine Urne enthält 6 rote und 4 schwarze Kugeln. Es werden drei Kugeln mit einem Griff gezogen. Sind unter der gezogenen Kugeln mind. zwei rote Kugeln, so erhält man 10€ ausgezahlt. Es soll geprüft werden, ob das Spiel fair ist.
a) X sei die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Stellen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X auf.
Wie kann man am Besten beginnen?
Vielen Dank im Voraus!
3 Antworten
Um den Erwartungswert zu berechnen, musst du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit dem Umsatz multiplizieren.
Beachte:
Umsatz ≠ Gewinn
Umsatz heißt auch, dass du den Einsatz von 8€ mit einberechnen musst. Wenn du mit dem Zug z.B. 10€ ausgezahlt bekommst, hast du am Ende ja trotzdem nur 2€ Umsatz gemacht. Dann würdest du also die Wahrscheinlichkeit mal zwei + die nächste Wahrscheinlichkeit mal ...
Es gibt vier Möglichkeiten, mindestens 2 rote Kugeln zu ziehen: rrr, rrs, rsr, srr. (rrs bedeutet dabei z. B.: zuerst wird rot gezogen, dann wieder rot, beim dritten Mal schwarz.) Die Wahrscheinlichkeit für "rrs" ist dabei:
P(rrs) = (6/10) * (5/9) * (4/8) =1/6,
weil beim ersten Zug 6 rote (von insgesamt 10) Kugeln vorhanden sind, beim zweiten Zug nur noch 5 rote (von 9) und danach noch 4 schwarze (von 8). "Mit einem Griff" kommt dabei auf das Gleiche heraus, wie wenn man dreimal ohne Zurücklegen hintereinander zieht.
Entsprechend gilt: P(rrr) = (6/10) * (5/9) * (4/8) = 1/6,
P(rsr) = (6/10) * (4/9) * (5/8) = 1/6,
P(srr) = (4/10) * (6/9) * (5/8) = 1/6.
Als Gesamtwahrscheinlichkeit erhält man 4/6 = 2/3. Dies multipliziert mit dem verheißenen Gewinn von 10 € ergibt den Erwartungswert 6,67 (d.h. wenn man sehr oft spielt, kann man "erwarten", dass man im Schnitt 6,67 € gewinnt). Das Spiel ist also nicht fair, da man ja schon als Einsatz 8 € zahlt.
Die Wahrscheinlichkeit für "mindestens zwei rote" war ja
P(rrr)+P(rrs)+P(rsr)+P(srr) = 4/6 = 2/3. "Weniger als zwei rote" ist das Gegenereignis davon, hat also die Wahrscheinlichkeit 1 - 2/3 = 1/3. Der Erwartungswert ist dann die Summe der Erträge (Auszahlung - Einsatz), jeweils multipliziert mit den Wahrscheinlichkeiten, also:
E(Y) = 2€ * 2/3 + (-8€) * 1/3 = (-4/3) € = -1,33 €.
Das ist das, was man, wie schon bei der Anfangsaufgabe herauskam, "im Schnitt" verliert, wenn man das Spiel sehr oft macht.
Beginn mit den den Wahrscheinlichkeiten, Null rote Kugeln bzw, drei rote Kugeln zu ziehen.
Damit kommst Du dann wohl schon weiter.
Vielen Dank für die plausible Erklärung! Habe die a) nun verstanden. Es gibt noch eine b), die lautet:
Y sei der Gewinn pro Spiel (Auszahlung - Einsatz). Stellen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y auf und berechnen sie den Erwartungswert Y.
Da habe ich bis jetzt erstmal:
y1: Gewinn für den Fall "mindestens 2 rote" = 2€, weil 10€-8€
y2: Gewinn für den Fall "nicht mindestens 2 rote" = -8€, weil wir keine 10€ gewinnen und 8€ Einsatz bezahlt haben
Aber wie komme ich auf die Wahrscheinlichkeiten?