Erster x-Wert einer Sinusfunktion falsch!?
Ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
Während Teil a nicht so schwierig war, habe ich einige Probleme bei b.
Ich habe folgendermaßen gerechnet:
U(t) = Umax * sin(w * t) => U(t)/Umax = sin(w * t) => arcsin(U(t)/Umax) = w * t => (arcsin(U(t)/ Umax)/w = t
Dann alle Werte eingesetzt: t = (arcsin(8V/10V))/(2π * 50Hz) = 0.002952.
Das Ergebnis habe ich dann mit dem Graphen in Geogebra überprüft und es hat gepasst.
Als ich jetzt aber x für den ersten -8V Wert bestimmen wollte, habe ich Probleme bekommen.
Ich rechne t = (arcsin(-8V/10V))/(2π * 50Hz) also einfach das Vorzeichen von 8V geändert und ich erhalte als Ergebnis: -2.951... * 10^-3. Dann noch + 1/50 damit ich einen positiven Wert erhalte und die Frequenz ja 50 ist.
Der Wert den ich dann erhalte ist aber 0.017048... . Ich überprüfe auch das Ergebnis und merke, dass das nicht der erste Wert für -8 ist.
Vielmehr ist es der Wert direkt daneben nachdem die Funktion wieder ansteigt.
Wie kann ich jetzt aber den ersten Wert algebraisch bestimmen?
Danke für Eure Hilfe!
3 Antworten
Du weißt, dass bei einer Sinus (und Cosinus) Funktion die beiden Extrema immer eine halbe Periode voneinander entfernt sind. Damit ist das Argument bei dem Funktionswert +a immer eine halbe Periode von dem ersten Argument bei -a entfernt usw. weil sie denselben Abstand zu den jeweiligen Extrema haben. Bei einem Sinus mit positivem Vorzeichen kannst du also einfach eine halbe Periode zu deinem gefundenen t für +8V hinzuaddieren. (siehe die Antwort von @evtldocha)
Eine Alternative Möglichkeit, damit du deine Rechnung nicht verwerfen musst, ist, um die zeitliche Differenz von deinem gefundenen Wert (also der zweite Zeitpunkt für -8V) zu dem Minimum der Funktion zu berechnen. Beim Sinus ist das Minimum ja einfach bei 3*pi/2, in deinem Fall also bei 3*pi/(2*w). Da der Sinus um ein Extremum herum symmetrisch ist, befindet sich der andere Zeitpunkt für -8V also genau auf der anderen Seite des Extremums mit der selben Differenz wie dein anderer Wert.
Da musst du den zeitlichen Versatz Delta_t innerhalb des Sinus berücksichtigen.
Die Gleichung dafür wäre:
Für die Berechnung der Zeit für -8V musst du für Delta_t den Zeitwert von +8V eintragen.
Ich hätte jetzt einfach auf die zuerst berechnete Zeit eine halbe Periode (=1/100 s) addiert.
