Einen Beweis, dass x²-1 keine Primzahl für x von 3 bis 1000 sein kann?

4 Antworten

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet

HeniH

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

20.04.2020, 16:33

Hi,

x² -1 kann man immeer schreiben:

als Produkt 2er Faktoren:

x² -1 = (x - 1) * (x + 1), (3. binomische Formel)

wenn also x > 2 ist, dann ist (x - 1) > 1, also ist (x² - 1) keine Primzahl.

Gilt für alle Zahlen x >= 3 bis Unendlich, nicht nur bis 1000.

LG,

Heni

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

tonik55

Beitragsersteller

20.04.2020, 16:35

Danke, sehr schöner Beweis, sind sie Mathematiker?

HeniH

20.04.2020, 16:37

@tonik55

Danke Dir! Und ja, ich bin Mathematiker, aber Du brauchst mich hier nicht zu sietzen! :-)

tonik55

Beitragsersteller

20.04.2020, 16:39

@HeniH

Ich habe großen Respekt vor Mathematikern, weil sie so intelligent sind)

HeniH

20.04.2020, 16:41

@tonik55

Nein, wir tun nur so..... :-)

Und außerdem: Jeder kann Etwas", ich zum Beispiel Mathe

tonik55

Beitragsersteller

20.04.2020, 16:41

@HeniH

ja, aber selten jemand Mathe!

CrEdo85wiederDa

20.04.2020, 16:46

Mal so für mich zum Verständnis (stehe hier gerade aufm Schlauch)... wie folgerst du aus (x-1)>1, dass (x²-1) keine Primzahl sein kann?

HeniH

20.04.2020, 16:51

@CrEdo85wiederDa

Eine Primzahl kann man nur durch 1 und durch sich selbst Teilen.

Deswegen kann man eine Primzahl auch nur schreiben als Produkt 2er Zahlen:

n = 1 * n, Also 1 *die Zahl selbst, weil es sonst ja keine Teiler gibt.

Beispiel:

13 ist eine Primzahl, kann ich nur schreiben:

13 = 1 * 13,

12 ist keine Primzahl, sdiese kann ich schreiben:

2 * 6, oder

3 * 4

Kannst Du die zahl aber als produkt von 2 Faktoren schreiben wo einer davon > 1 ist, dann ist es keine Primzahl mehr.

LG,

Heni

CrEdo85wiederDa

20.04.2020, 17:02

@HeniH

Aaah, jetzt macht es Sinn :) Lediglich der Schritt mit "Produkt zweier Zahlen >1 kann keine Primzahl sein" hat in meinem Kopf gefehlt, muss wohl daran liegen, dass heute Montag ist 😅 Danke :)

CrEdo85wiederDa

20.04.2020, 17:06

@HeniH

Ach, aber eine kleine Korrektur, der mathematischen Korrektheit wegen:

Kannst Du die zahl aber als produkt von 2 Faktoren schreiben wo einer davon > 1 ist, dann ist es keine Primzahl mehr.

Beide Faktoren müssen >1 sein, nicht bloß einer :) bei Faktoren z.B. 1 und 3 ist auch einer >1, dennoch ist 3 eine Primzahl 😉

HeniH

20.04.2020, 17:10

@CrEdo85wiederDa

Ja, generell ganz klar!

Aber hier ging es ja um die Faktoren : (x- 1) und (x + 1),

wenn (x - 1) > 1 ist, dann ist (x + 1) auf jeden Fall größer 1.

gfntom

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

20.04.2020, 16:51

Da kann man Schrittweise zeigen.

zunächst: für ungerade x ist es trivial, da dann x² ungerade ist und somit x²-1 gerade und damit durch 2 teilbar ist.

Damit eine Zahl der Form x²-1 prinzipiell eine Primzahl sien kann, muss x durch 3 teilbar sein.
Warum?
wenn eine Zahl nicht durch 3 teilbar ist, lässt sie sich darstellen in entweder der Form
x = 3n+1 oder x = 3n+2

Berechnet man nun x²-1:

(3n+1)² - 1= (9n² + 6n + 1) - 1 = 9n² + 6n
(3n+2)² - 1= (9n² + 12n + 4) - 1 = 9n² + 6n + 3

Beide Ausdrücke sind klar ersichtlich durch 3 teilbar und damit nicht prim.

somit muss "nur noch" die Zahlen der Form x=6n überprüfen und mit weiteren Überlegungen die Zahlen immer mehr einschränken.

Zudem scheiden Zahlen, die auf 4 oder 6 enden aus.

gfntom

20.04.2020, 17:31

Ach, das geht ja viel einfacher:

x² - 1 = (x+1)*(x-1)

(3. binomische Formel)

x²-1 hat also immer die Teiler (x+1) und (x-1)

CrEdo85wiederDa

20.04.2020, 16:22

Für ungerade Zahlen (x=2n-1 für n zwischen 2 und 500) ist der beweis ganz einfach - ungerade Zahl ist auch quadriert undgerade, d.h. bei ungeraden Zahlen gilt: x²-1 ist eine gerade Zahl und kann somit keine Primzahl sein.

Für gerade Zahlen (x=2n, ebenfalls für n zwischen 2 und 500) müsste ich auch mal überlegen 😉

RIDDICC

20.04.2020, 16:27

du könntest n Programm schreiben, das einfach alle Zahlen ausprobiert...
ist etwas dreist, aber wäre ein Beweis...
LOL

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public class PrimeNumbers {

static int x = 1000;
private static boolean[] Primes = new boolean[x];

// Hier ist der "statische Konstruktor"
static {
}

private static boolean checkPrime(int number) {

    return false;
}

public static boolean isPrime(int number) {
    int limit=1000;
    int zahl;      
    int zaehler;   
    boolean primzahl; 

    for (zahl = 2; zahl <= limit; zahl++) {
        primzahl = true;

        for (zaehler = 2; zaehler <= zahl/2; zaehler++) {
            if (zahl % zaehler == 0) {
                primzahl = false;
              break;
            }

        }

        if (primzahl) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

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