Wie kann man diesen Satz zu Primzahlen beweisen?
Erinnern Sie sich, dass eine Zahl p ∈ N \ {1} genau dann Primzahl heißt, wenn sie genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Beweisen Sie folgenden Satz:
Sei p ∈ N \ {1, 2} eine Primzahl. Dann gibt es k ∈ N0, sodass p = 4k + 1 oder p = 4k + 3
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ChrisGE1267/1713780995668_nmmslarge__399_0_2521_2521_09c67a06d645267d51c3bed5e5ce7406.jpg?v=1713780996000)
Jede ungerade Zahl m = 2n + 1 hat entweder die Darstellung m = 2*(2k) + 1 = 4k + 1 oder m = 2*(2k + 1) + 1 = 4k + 2 + 1 = 4k + 3.
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Da muss man nichts mehr beweisen - m = 2n + 1 ist die Definition einer ungeraden Zahl; das n in der Darstellung kann dann selbst wieder entweder gerade oder ungerade sein…
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Mit vollständiger Induktion würde es gehen, soviel Aufwand ist aber gar nicht erforderlich.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
ok danke, aber warum wird dort jeweils mit 2 multipliziert ? Also jeweils "2*(2k) + 1" und " 2*(2k + 1) + 1" ? Einfach nur um auf die gewollte Form von p = 4k + 1 und p = 4k + 3 zu kommen?
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Nein, weil jede Division einer ganzen Zahlen durch 2 entweder Rest 0 oder 1 ergibt - die Zahlen mit Rest 0 bilden die Menge der geraden Zahlen, die mit Rest 1 die der ungeraden Zahlen. Somit hat jede ungerade Zahl die Darstellung 2n + 1, wobei dann n selbst wieder gerade oder ungerade sein kann…
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Eine Zahl p ∈ N hat immer eine Darstellung der Form
p = 4k + r,
wobei k ∈ N0 und r = 0, 1, 2 oder 3 sein kann.
Das ist ganz einfach die Division durch 4 mit Rest.
Die Reste 2 und 4 kann man aber bei Primzahlen ausschliessen, da diese zu geraden Zahlen p gehören, die (ausser der ausgeschlossenen 2) keine Primzahlen sind, man kann ja eine 2 ausklammern.
Das war's schon.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Du zeigst , dass jede Primzahl p>2 eine ungerade Zahl ist, und dann zeigst Du dass die Aussage Dann gibt es k ∈ N0, sodass p = 4k + 1 oder p = 4k + 3 für jede beliebige ungerade Zahl gilt.
Und wenn Du das geschafft hast, beweist Du
Sei p ∈ N \ {1, 2} eine Primzahl. Dann gibt es k ∈ N0, sodass p = 6k + 1 oder p = 6k + 3 oder p = 6k + 5
Ah okay danke und wie könnte man das beweisen? Mit Induktion ?