E-Funktionen Verständnisfrage?
Vorab: Ich weiss wie man herleitet und auch wie man e Funktionen ableitet unter allen Ableitungsregeln.
Doch ich finde kaum eine Quelle die mir verraten kann wofür E-Funktionen nun so praktisch sind (außer zb. Zinsrechnungen wenn man eine instant Bank hätte um den größtmöglichsten Profit aus den Zinsen zu siehen....).
Es gibt ja auch zb. die Anwendungsfälle bei Bakterienvermehrungen oder Atomzerfall. Doch wofür bei solchen fällen die Basis e in einer Funktion verwenden? Dann gibt es ja viele die Sagen, dass es halt praktisch ist e zu verwenden, da e abgeleitet immer noch e ist. Doch das bringt mir ja bei einer Funktion (zb. f(x)= (x+2)ℯ^(-x)) auch nichts, weil diese ja abgeleitet f'(x)= -(x+1)ℯ^(-x) ist. Heißt ich habe keinen analytischen vorteil.
Kann mir also irgendwer sagen, welche Vorteile mir die e-Funktion bei Anwendungsbeispielen gibt? Warum nicht einfach eine Exponentialfunktion ohne Basis e verwenden?
5 Antworten
Dass "e-Funktionen" einfach abzuleiten sind, ist in der Tat die beste Begründung.
Ansonsten ist es so, dass du jede Basis verwenden kannst, denn es gilt folgendes :
a ^ x = b ^ (x * ln(a) / ln(b))
mit a > 0 und b > 0
ln(...) ist der natürliche Logarithmus.
Speziell für die "e-Funktion" gilt dann :
e ^ x = b ^ (x * ln(e) / ln(b))
Weil ln(e) = 1 ist, vereinfacht sich das zu :
e ^ x = b ^ (x / ln(b))
Du kannst also die "e-Funktion" auf jede beliebige Basis mit b > 0 bringen.
1) bei der Herleitung der Formel für den radioaktiven Zerfall
N(t)=No*e^(-b*t)
Differentialgleichung (Dgl.) y´+b*y=0 mit y´=dy/dx
dy/dx=-b*y nun trennen der Veränderlichen dy,y und dx
dy/y=-b*dx integriert
ln(y)=-b*x+C
y=e^(-b*x+C)=e^C*e^(-b*x) mit e^C=C=konstant
allgemeine Lösung y=f(x)=C*e^(-b*x) ergibt N(t)=No*e^(-b*t)
Lösung bei der Homogene lineare Dgl. 2. Ordnung mit konstanten koeffizienten
a*y´´+b*y´+c*y=0 ist die Dgl. der freien gedämpften Schwingung
Lösungsansatz y=e^(r*x) abgeleitet y´=r*e^(r*x) und y´´=r²*e^(r*x)
eingesetzt a*r²*e^(r*x)+b*r*e^(r*x)+c*e^(r*x)=0
0=e^(r*x)*(a*r²+b*r+c) mit e^(r*x) ungleich NULL (kann nicht null werden)
0=a*r²+b*r+c ist eine Parbel Nullstellen mit der p-q-Formel
r1,2=-b/(2*a)+/-Wurzel((b²/(4*a²)-c/a)
Es gibt dann 3 Fälle
Den Rest kannst du aus dem Mathe-Formelbuch abschreiben,was du privat in jedem Buchladen bekommst.
Die Basis e nimmt man,weil sie sich bei der Integration Integral(dy/y)=ln(y) ergibt
ln(y)=...
y=e^(...)
e-Funktionen sind einfacher abzuleiten und zu integrieren
jede Exponentialfunktion mit beliebiger Basis lässt sich als e-Funktion darstellen
Natürlich hast du bei so simplen Funktionen wenig Vorteil, schwierige sind da schon anders. Und gerade bei der Integration macht die e-Funktion das ganze deutlich einfacher.
Warum nicht einfach eine Exponentialfunktion ohne Basis e verwenden?
Weil dann die Ableitung komplizierter wird.