Dimension von Abb(X,K)?

Servus,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß leider gar nicht weiter …

»Sei K ein Körper und X eine Menge. Abb(X,K) ist ein Vektorraum über K. Zeigen Sie, dass Abb(X,K) genau dann endlichdimensional ist, wenn X endlich ist. Finden Sie in diesem Fall eine Basis von Abb(X,K).«

Vielen Dank! LG

Answer 1

[MagicalGrill]

Definiere für jedes x∈X die Indikatorfunktion

$I_x:X\to K,I_x(y):=\delta_{xy}$ Hierbei bezeichnet die rechte Seite das Kronecker Delta

Zeige, dass die Familie

$(I_x)_{x\in X}$

linear unabhängig in Abb(X,K) ist. Alles andere lässt sich relativ leicht daraus folgern.