Definition der Standardabweichung?
Erstmal folgendes: Die ,,Standardabweichung" sei die durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert. Das Quadrat ist bestimmt drin um das Problem mit negativen Zahlen zu beheben. Mal folgende Frage: Anzahl von Werten, ok, ich will den Mittelwert, na gut wenn ich 10 Werte habe, ziehe ich wieder die Wurzel der Summe um das Quadrat zu ,,eliminieren", nur wieso sollte ich dann durch Wurzel 10 teilen um den Mittelwert davon zu erhalten? Klar dann habe ich den Mittelwert der Diskriminante, nur wieso zur Hölle soll der quadratische Mittelwert der Diskriminante am Ende wieder dem eigentlichen Mittelwert der Werte entsprechen wenn die die Wurzel gezogen wird?
Ganz ehrlich, mit dieser Argumentation wird die Standardabweichung von +5 und +3 doch glatt zu 4.123105626, wenn der x-Strich 0 ist
Mir kommt das total Spanisch vor, bin sowieso kein Stochastik Mensch und würde die ,,Standardabweichung" anders definieren:
Wo ist mein Denkfehler?
3 Antworten
Es gibt verschiedene Streumaße, z.B. die Spannweite (Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert), die mittlere absolute Abweichung (Summe der Beträge der Abweichungen vom Mittelwert dividiert durch n; siehe Deine Formel), die Varianz (Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert dividiert durch n) und die Standardabweichung (Wurzel aus der Varianz).
Diese Streumaße haben jeweils unterschiedliche Vor- und Nachteile. Z.B. macht die Spannweite keine Aussage zur Verteilung der Messwerte, bei der mittleren absoluten Abweichung stören die Beträge, die Varianz führt durch das Quadrieren zu Werten, die größer sind, als die Abweichungen von den Mittelwerten. Daher wird als Streumaß die Wurzel aus der Varianz eingeführt, die Standardabweichung. Diese hat zudem Vorteile für statistische Aufgaben.
Es geht also nicht darum, die Standardabweichung anders zu definieren (diese hat eine mathematisch/statistische Grundlage), sondern eher darum, welches Streumaß welche Aussagekraft hat und für welchen Zweck eingesetzt wird. Schau Dir z.B. mal das folgende Video an:
Deine Definition wäre genau so möglich. Man verwendet aber das Quadrat, weil man damit besser rechnen kann als mit der Betragsfunktion.
Und dein Beispiel mit den Werten 3 und 5 ergibt keinen Sinn. Dann wäre x̅ = 4 ≠ 0.
"Bei meiner Definition kann ich genau so den Betrag durch ein Quadrat ersetzen und die Wurzel drüber setzen, würde nichts ändern."
Die Wurzel aus der Aufsummierung der Quadrate durch n ergibt ein anderes Ergebnis als die Aufsummierung der Absolutwerte durch n.
Wenn ich die Werte 5 und 3 habe, dann ist der Mittelwert dieser beiden Werte (also x-Strich) ganz sicher nicht 0.
In dem Beispiel ist n=2, x_1= 5, x_2 = 3. Dann ist der Mittelwert x-Strich = 4 und die Standardabweichung ist
Gut, du hast mein schlechtgewähltes Beispiel entlarvt. x Strich ist selbst der Mittelwert und es geht um die Abweichung um diesen, das habe ich bei meinen Überlegungen ignoriert, der natürlich 1 ist.
k :D
Bei meiner Definition kann ich genau so den Betrag durch ein Quadrat ersetzen und die Wurzel drüber setzen, würde nichts ändern. Nur fragt sich noch, wieso die Menschen 1/n samt Summe in eine Wurzel packen, hier hängts bei mir. Da helfen mir meine Potenzgesetze nicht mehr.