C14 Methode mit Differentialgleichung?
Guten Tag,
ich muss mich in der Jahrgangsstufe 13 im Grundkurs Mathematik mit der C14 Methode und dahingehend auch mit Differentialgleichungen beschäftigen. Ich habe mich schon viel mit der Thematik beschäftigt, bin mir aber nicht sicher wie man die C14 Methode mit den DGL kombiniert. Kann mir jemand evtl. eine Rechnung mit Variablen und deren Benennung aufschreiben ?
Bitte keine Links o.Ä. ich habe schon das ganze Internet durchforstet. Ich benötige nur die Rechnung als Vorlage um dann die gegebenen Werte einzusetzen.
3 Antworten
Ich vermute mal,daß es hier um den radioaktiven Zerfall geht.
Formel N(t)=No*e^(-b*t)
diese Formel leitet man über die dazugehörige Dgl her.
es gilt
(N2-N1)+N(t)*b*(t2-t1)=0
N(t)=zerfallsfähige Kerne zum Zeitpunkt t=0
b=konstant,ist die Zerfallskonstante,abhängig vom Material
es zerfallen in Zeitintervall t2-t1 ,(N2-N1) Kerne
geht nun das Zeitintervall t2-t1→ Null ,so ergibt sich die Dgl
dN+N(t)*b*dt=0 dividiert durch dt
dN/dt+N(t)*b=0 hier ist dN/dt=N´(t)
Lösung durch trennen der Veränderlichen
dN+N(t)*b*dt
dN=-N(t)*b*dt
dN/N=-b*dt integriert siehe Mathe-Formelbuch integrationsregeln,Grundintegrale
Integral (1/x*dx)=ln(x)+C
ln(N)=-b*t+C logarithmiert
N(t)=e^(-b*t+C)=e^(-b*t)*e^(C) e^(C)=No
N(t)=No*e^(-b*t)
Hinweis=Zum Zeitpunkt t=0 ergibt N(0)=e^(-b*0)*e^(C)=e⁰*e^(C)=e^(C)*1
also ist e^C=No=Anzahl der zerfallsfähigen Atomkerne zum Zeitpunkt t=0
Das ist doch ganz einfach !
wir nehmen No=100 zerfallsfähige Atomkerne (Sttoff spielt keine Rolle,ist nur ein Zahlenbeispiel)
b=0,01 ist die Zerfallskonstnate
das Zeitintervall nehmen als t2-t1=1 Sekunde mit t1=0 Sekunden
bei t1=t0=0 Sekunden,haben wir 100 zerfallsfähige Atonkerne
N2-N1 sind die zerfallenen kerne in der Zeit t= 1 s (haben wir ja festgelegt)
zum Zeitpunkt t1=to=0 sind keine Kerne zerfallen,also N1=0
(N2-N1)+100 *0,01*1 s=0
es sind dann zerfallen 100 Kerne*0,01*1 s=1 Kern
(N2-0)=1 Kern
1 Kern+1 Kern =0 das ist ,wie ein Gleichgewichtsbedingung
zerfallener Kern-Kern,der von den 100 Kernen kommt=0
Hinweis:Die Formel gilt nur für sehr,sehr viele Atomkerne No=10 Millionen oder Milliarden.
man weiß nicht,wann ein Atomkern zerfällt.Ein Kern kann in der nächsten Sekunde zerfallen oder auch villeit in Tausen Jahren.
Ist die Anzahl der kerne aber hoch genug,dann zerfallen halt in 1 Sekunde 10,100 oder 1000 Kerne pro Sekunde.
Dann gilt die Formel N(t)=No*e^(-b*t)
wenn wir nun das zeitintervall t2-t1 gegen NULL gehen lasse,also t2-t1=dt
dt=unendlich klein ,tausendstel Sekunde oder 10 millionsstel Sekunde
Dann wird natürlich auch die Anzahl der zerfallenen Atomkerne (N2-N1) sehr,sehr klein
daraus ergibt sich dann das Zerfalsgesetz (N2-N1)+N*b*(t2-t1)=0 in differentieller Schreibweise
dN+N*b*dt=0 diviediert durch dt
dN/dt+N*b=0
dN/dt=1.te Ableitung von N(t)=..... N(t) sind die zerfallsfähigen Kerne ,in Abhänigkeit von der Zeit t.
Analogie zur Mathematik y=f(x)=2*x³ abgeleitet dy/dx=f´(x)=6*x²
die Steigung an einer Funktion ist m=f´(x) ist die 1.te Ableitung
Beim radiaoaktiven Zerfall N(t)=No*e^(-b*t) ist die Steigung an jeder Stelle xo negativ
dN/dt=m=-N*b (ist negativ)
Die veränderlichen sind dN und N(t) und die Zeit dt
diese Veränderlichen können getrennt werden,indem man sich je auf eine Seite bringt
dN/N=-b*dt die veränderliche Zeit steht nun "rechts" und die Anzahl der Atomkerne auf der "linken" Seite.
Der Rest ist dann nur noch Integralrechnung.
Beispiel: f´(x)=6*x² ergibt dy/dx=6*x² weiter dy=6*x²*dx nun integrieren
Integral(dy)=Integral(6*x²*dx)
y=6*Int.(x²*dx)=6*x^(2+1)*1/(2+1)+C
y=F(x)=6/3*x³+C
F(x)=2*x³+C hier ist C =Integrationskonstante,die durch die Bedingungen ermittelt werden muß
Beim radioaktiven Zerfall
dN/N=-b*dt integriert
Integral(dN/N)=Integral(-b*dt)
ln(N)=-b*Int.(dt)=-b*t+C logarithmieren,damit ln(N(t)) N(t) ergibt
N(t)=e^(-b*t+c)=e^(-b*t)*e^C
e^c=konstant hat sich aus der Integrationskonstante ergeben
bei t=0 also e^(-b*0)=1 ergibt
N(0)=1*e^c und das kann nur die Anzahl der zerfallsfähigen Atomkerne bei t=0 sein
also ist e^c=konstant=No
Endformel
N(t)=No*e^(-b*t)
Rechne dies mal Schritt für Schritt nach und nimm dazu das Mathe-Formel und Physik-Formelbuch zur Hand
Potenzegesetz Mathe-Formelbuch a^s*a^r=a^(s+r)
bei dir a=e und s=-b*t und r=c
e^(-b*t+c)=e^(-b*t)*e^c
Mathe-Formelbuch Grundintegrale
Integral(dx/x)=ln(x)+C
bei dir analog Integral(dn/N)=ln(N)+C
Die C14 Methode basiert auf einem ganz gewöhnlichem Zerfallsgesetzt. Deswegen sende ich dir hier trotzdem einen link denn hier wird die Herleitung mathematisch sehr ausführlich gemacht:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zerfallsgesetz
Hier ist zu beachten, dass A die Aktivität ist (die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde). Diese ist proportional zu den noch nicht zerfallenen Atomen.
OK, ich werde mir das morgen mal genauer anschauen und versuchen beides miteinander zu verbinden, bitte tu mir den Gefallen und schau morgen Abend nochmal hier rein, falls ich fragen hab stelle ich sie dir. Danke !!!
Mach ich gerne! Im Prinzip musst du dir nur merken: C14 ist radioaktiv. Das bedeutet das Element zerfällt und nach einer bestimmten Zeit ist nur mehr halb, viertel oder ein achtel so viel davon da. Man kann meist aber nur Messen wie viele Atome vom Element an einem bestimmten Zeitpunkt zerfallen (Aktivität A). Umso mehr Atome vorhanden sind umso mehr Atomr können in einer Sekunde zerfallen (die Aktivität ist also proportional zur Anzahl der Atome N). Dieser Gedanke führt zu einer DGL. Denn die Änderung der Atome pro Zeit ist die Aktivität: A= -dN/dt
Die C14-Methode musst du überhaupt nicht mit DGL "kombinieren".
Die DGL braucht man wie fjf100 sauber erklärt hat, nur für die Herleitung oder den "Beweis" der Zerfallsfunktion. Also nur zum Bauen des "Werkzeugs".
Da man sich aber selten um die Herstellung von Werkzeugen bemühen muss, benutzt man sie einfach. Eben z.B. das Zerfallsgesetz. Eine mögliche Form ist diese (unabhängig von der Fragestellung):
- N(t) : Aktive Kerne zur Zeit t
- No : Aktive Kerne am Anfang
- e : die eulersche Zahl 2,718...
- T 1/2: Halbwertszeit des radioaktiven Isotops
- t : Zeit
Das Alter (seit dem "Anfang") bekommt man, indem man die Formel nach t auflöst.
Für die C14-Methode benutzt man aber eine leicht andere Formel, weil hier nicht die absolute Zahl radioaktiver C14 bekannt ist, sondern das Verhältnis C12/C14:
Hier muss man in der Probe das rote Verhältnis bestimmen.
Lambda ist die bekannte Zerfallskonstante.
Dann die Formel nach t auflösen und so bekommt das gesuchte Alter (in Jahren, falls die Zerfallskonstante auch auf Jahre bezogen ist wie hier in der Formel).
Danke aber ich verstehe leider nur Bahnhof...